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Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020

Posté par
perroquet
23-11-20 à 22:38

Vous trouverez facilement des informations sur la compétition Miklos Schweitzer sur Internet.
L'exercice 1 de la session 2020 m'a semblé très intéressant et je vous le propose.

Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 (traduit par perroquet à partir de la traduction en anglais)


On dit que deux suites x,y \ : \mathbb N \rightarrow \mathbb N sont complètement différentes si et seulement si :

 \forall n \in \mathbb N \enspace , \enspace x(n)\neq y(n)

F est une fonction de \mathcal{F}(\mathbb N,\mathbb N) dans \mathbb N telle que:

     si x  et y sont deux suites complètement différentes, alors F(x)\neq F(y)
     si  x est une suite constante prenant la valeur k, alors F(x)=k

Montrer que   \ \exists n \in \mathbb N\enspace , \enspace \forall x \in \mathcal{F}(\mathbb N,\mathbb N) \enspace , \enspace F(x)=x(n)



Solutions en blanké.
Je donnerai des indications si personne ne trouve.

Posté par
Zormuche
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 24-11-20 à 00:13

Bonsoir

je me lance sans but

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Posté par
perroquet
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 24-11-20 à 01:43

Bonjour, Zormuche.

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Posté par
verdurin
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 24-11-20 à 19:10

Bonsoir,
une idée sans plus.

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Posté par
perroquet
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 24-11-20 à 19:35

Bonsoir, verdurin.

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Posté par
verdurin
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 24-11-20 à 20:15

Bonsoir perroquet.
Le premier point que j'invoque n'est pas une idée, c'est un résultat facile à démontrer.
Le second point est effectivement une piste, que je n'ai pas encore réussit à suivre jusqu'à une démonstration.
Si je réussis à la suivre jusqu'à une démonstration, je ne manquerais pas de la poster.

Posté par
verdurin
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 26-11-20 à 09:38

Finalement je crois que ma piste n'est pas bonne.

Posté par
Imod
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 26-11-20 à 16:55

Bonsoir

C'est un joli problème . J'ai commencé à regarder ce qui se passe pour des suites ne prenant que deux valeurs , trois valeurs , ... ou en permutant certains termes de la suite . C'est amusant et donne pas mal d'idées , à suivre ...

Ne donne pas d'indice pour le moment , l'exercice semble abordable sans grosse astuce sortie de nulle part

Imod  

Posté par
GBZM
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 09:10

Bonjour,

Exercice amusant.

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Posté par
Imod
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 11:57

Ouahh , j'étais sur la même piste que toi mais je n'arrivais pas à conclure

Il me semble qu'il faut ajouter les contraintes p\notin A et q \notin A dans le choix des entiers p et q

Imod

Posté par
Imod
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 12:34

Un tableau récapitulatif avec f=F(Id) , g n'importe quel entier différent de f et r ce qu'il reste .

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Imod

Posté par
GBZM
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 13:44

Bonjour Imod,

Tu peux constater que j'ai complètement détaillé ma démonstration, et qu'il n'y a absolument aucune raison d'imposer p\not\in A et q\not \in A. Non seulement c'est totalement inutile, mais en plus rien ne dit qu'on peut le faire.  Il faudrait démontrer auparavant que le complémentaire de A contient suffisamment d'éléments.

Posté par
GBZM
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 14:05

Je corrige une coquille :

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Posté par
Imod
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 17:25

D'accord , il est inutile de supposer que p\notin A et q \notin A  mais il faut légèrement modifier la définition de y pour éviter une ambiguïté quand p \in A :

y(k)=p si k \in A-\{p\} , sinon y(k)=F(x) .

Imod

Posté par
GBZM
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 17:44

Mais non ! Pourquoi veux-tu faire ça ? Il n'y a aucune ambiguïté.
Relis soigneusement ma démonstration, et dis moi où tu vois un problème, si tu en vois un.

Posté par
Imod
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 17:52

Il me semblait avoir lu ta réponse attentivement , comment définis-tu y(p) quand p est dans A ?

Imod

Posté par
GBZM
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 17:57

C'est pourtant clair, non ?

GBZM @ 28-11-2020 à 09:10


Soit y la suite définie par y(k)=p si k\in A et y(k)=F(x) sinon.

Je répète ma question : où vois-tu une ambiguïté ?

Posté par
Imod
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 17:57

Bon j'ai trouvé la réponse tout seul , je restais bloqué bêtement la dessus depuis un moment

Imod

Posté par
GBZM
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 18:00

Bon alors, tu es bien d'accord qu'il n'y a aucune ambiguïté dans ce que j'ai écrit ?

Posté par
Imod
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 28-11-20 à 18:10

Oui , nos réponses se sont croisées .

Imod

Posté par
perroquet
re : Exercice 1 Miklos Schweitzer 2020 01-12-20 à 18:59

Bonjour à tous.

GBZM a trouvé une excellente solution à l'exercice que je proposais (post du 28 novembre, à 9h10).
La solution que j'avais trouvée utilise les mêmes idées mais elle est beaucoup moins élégante. Je vous la propose cependant.

Un modérateur pourrait-il importer ce fichier pdf sur l'île? Merci.

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