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a,b , c , x,y, et z réels positifs , non nuls
x/a=y/b=z/c=q
(x+y+z)/(a+b+c)=q
(x+y+z)=q((a+b+c)
(x+y+z)(a+b+c)=q(a+b+c)²

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De x/a=y/b=z/c avec x,y,z et a,b,c des réels strictement positifs, on tire :

x = ay/b
z = cy/b

(a+b+c)(x+y+z) = ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz
(a+b+c)(x+y+z) = a²y/b + ay + acy/b + ay + by + cy + acy/b + cy + c²y/b
(a+b+c)(x+y+z) = a²y/b + 2 ay + 2 acy/b + by + 2 cy  + c²y/b  (1)

[V(ax) + V(by) + V(cz)]² = ax + by + cz + 2(V(abxy) + V(acxz) + V(bcyz))
[V(ax) + V(by) + V(cz)]² = a²y/b + by + c²y/b + 2(V(a²y²) + V(a²c²y²/b²) + V(c²y²))
[V(ax) + V(by) + V(cz)]² = a²y/b + by + c²y/b + 2(ay + acy/b + cy)  (2)

(1) et (2) ont des second membres égaux -->

(a+b+c)(x+y+z) = [V(ax) + V(by) + V(cz)]²

et comme x,y,z et a,b,c des réels strictement positifs -->

V[(a+b+c)(x+y+z)] = V(ax) + V(by) + V(cz)

CQFD

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x/a = y/b = z/c = q qui est de plus positif

donc (x + y + z) = q(a + b + c)

le premier membre vaut donc

le second membre vaut