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Exercice avec equation

Posté par
rez 17-05-09 à 22:31

Bonsoir, j'ai besoin d'un coup de main sur le cheminement à poursuivre pour la résolution de cet équation :

K est un paramètre réel
x^4 + 2 x³ - 17x² + kx + 72 = 0

1. Détermine la valeur de k pour laquelle l'équation possède 4 racines réelles distinctes (x1,x2,x3,x4) et tel que x1+x2 = x3+x4
2. Déterminer aussi les valeurs de x1,x2,x3 et x4

Merci

Posté par re : Exercice avec equation 17-05-09 à 23:02

Bonsoir,

Développe: $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ et exprime les coefficients en fonction de $s=x_1+x_2=x_3+x_4$ , de $x_1x_2$ et $x_3x_4$

Par identification, tu auras $s=-1$ et nécessairement $k=-18$

qui donne les solutions -4,-3,2,3

Posté par re : Exercice avec equation 22-05-09 à 17:36

Bonjour,
merci pour la réponse. J'ai éssayé de comprendre ton raisonnement et je comprend pas vraiement. tu pourrais expliquer mieux ?

merci

Posté par re : Exercice avec equation 22-05-09 à 19:07

Re,

On suppose que $P(x)$ est un polynome de degré 4 possédant 4 racines réelles et dont le terme de degré 4 a pour coefficient 1:

$P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$

Après développement et en posant $s=x_1+x_2=x_3+x_4$ :

$P(x)=[x^2-sx+x_1x_2][x^2-sx+x_3x_4]$

$P(x)=x^4-2sx^3+(s^2+x_1x_2+x_3x_4)x^2-s(x_1x_2+x_3x_4)+x_1x_2x_3x_4$

$P(x)=x^4+2x^3-17x^2+kx+72$

Par identification:

$\{s=-1\\x_1x_2+x_3x_4=-18\\k=-18\\x_1x_2x_3x_4=72$

En posant $p_1=x_1x_2$ et $p_2=x_3x_4$ , on a:

$\{p_1+p_2=-18\\p_1p_2=72$

$p_1$ et $p_2$ sont donc solutions de l' équation:

$X^2+18X+72=0$

qui donne $p_1=-12$ et $p_2=-6$

Puis avec $s=x_1+x_2=x_3+x_4=-1$ , on obtient:

$\{x_1=-4\\x_2=3\\x_3=-3\\x_4=2$

On vérifie que ces 4 solutions conviennent avec $k=-18$ .

Posté par re : Exercice avec equation 23-05-09 à 09:57

grand merci cailloux

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