Salut.

T'as essayé de faire quoi deja?
Tu peux pas le résoudre avec des modulos?

Bonjour

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(a,b) = (0,0) ou (1,1) ou (1,-1) ou (2,2) ou (2,-2) ou (5,11) ou (5,-11)

Bonjour,

>> Rudi

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La difficulté est de montrer qu' il n' y a pas d' autres solutions; c' est d' ailleurs là que réside tout l' intérêt du problème...

Bonjour cailloux

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oui, mais je n'y parviens pas...

Je trouve une double infinité de solution
en réduisant mod 3 on trouve deux valeurs possibles pour b mod 3
d'où une double infinité de couple d'entiers a,b

Bonjour apaugam,

Pourrais-tu m' en donner une, c' est à dire un couple où a est différent de 0,1,2 et 5 ?

Avec plaisir !
je peux même t'en donner une double infinité
un exemple
a=11 et b=4

Bonjour apaugam

solution de 3^a = 2b²+1 ??

Non bien sûr
j'ai du oublier de prendre mes lunettes !
solution de
qui était beaucoup plus simple !

Bonjour,

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J'en suis arrivé à b²=1+3+3²+....+3^a-1, suis-je sur la bonne voie et si c'est le cas, j'ai plutôt l'impression d'être dans une impasse. Si je pouvais avoir un petit coup de main... Ce serait cool

b²=1+3+3²+....+,
on peut commencer par trouver les solutions pour a=2
facile en raisonnant mod 3 cela donne b=1+3k ou b=2+3k
puis pousser un cran plus loin mod 3^2
trouver une partie des solutions precedentes, (des conditions sur les k)
et continuer plus loin de la même manière mod 3^3

je n'ai pas essayé les calculs

Quelqu'un a-t-il une résolution ou démonsration prouvant l'unicité des couples a,b proposés le 21 juin à 14 h 43 ?

Rudy

Rudi >>
C'est le genre de chose difficile à prouver, car la probabilité de trouver 2 entiers qui conviennent diminue considérablement lorsque ceux-ci sont grand.

Un équation Diophantienne dans le même genre :
(4;5)(5;11)(7;71) conviennent mais on ne connait pas d'autres solutions.

Existe t-il des façons de résoudre ce genre d'équation ? Seul Gauss le sait. ^^

oui matovitch,
Gauss ? je ne pense pas, mais Fermat l'avait sans doute prévu dans une de ses marges...

Je vais simplement citer Sénèque pour inciter les ingénieux membres de ce site à cogiter et nous fournir une démonstration :

Ce n'est pas parce que les choses sont difficiles que nous n'osons pas, c'est parce que nous n'osons pas qu'elles sont difficiles

Rudy

Bonsoir

Puisqu'aucun membre de ce site ne semble avoir de démonstration, charaf qui a posé ce problème possède peut-être la solution ?

Rudy

Bonjour,

Avec Maple je n'ai pas trouvé de solution pour a entre 6 et 6000.

Si on considère l'équation 2b²=-1 modulo 3^n on peut montrer facilement par récurrence qu'elle a des solutions pour tout n; il ne semble donc pas facile de montrer qu'il n'y a pas de solution à l'équation 3^a=2b²+1 pour a > 5.

Bonjour

Je parviens à montrer que a est forcément impair (facile). Mais ce dernier cas ne semble pas des plus évidents

Bonjour blang,

Comment montres-tu que a est forcément impair?
Pour a=0 et a=2 on obtient bien une solution.

Bonsoir jandri,

En résumé : si a=2, , on obtient . Comme le PGCD de et vaut 2, on voit alors que ou est un carré.
  ne peut être un carré si >0 (raisonner modulo 3).
si , on a ce qui n'est possible que lorsque c=2 et =1.

A part a=0 et a=2, a ne peut donc être pair.

Bonjour blang,

Merci pour cette démonstration très simple.
Dommage qu'il n'y ait pas quelque chose d'analogue dans le cas a impair.
J'ai seulement obtenu que a=4x+1 d'où b=10y1.

Bonjour,

Sur le "forum des amateurs de math", m.elouafi a donné des informations précises sur cette équation .
Il y existe une solution du problème utilisant une factorisation dans l'anneau [i2].

Merci jandri

Sais-tu développer cette "factorisation" ? est-elle accessible sans trop de théorie (niveau DUT) ?

Rudy

Ce n'est quand même pas très simple.
On écrit l'équation sous la forme .
Dans l'anneau euclidien la factorisation de 3 en nombres premiers est: ; de plus, et sont premiers entre eux.
On en déduit que .
L'étude des premières valeurs de a est simple; on trouve des solutions dans les cas suivants:
pour a=1 on obtient b=1.
pour a=2 on obtient b=2.
pour a=5 on obtient b=11.
Il reste à montrer qu'il n'y a pas de solutions pour a > 5 mais je n'ai pas réussi à le justifier.