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Exercice d'entrainement niveau TS

Posté par
olive_68 03-08-09 à 22:24

Bonjour à tous

A ceux qui veulent s'entrainer sur un exo de terminal,

Citation :
4$\fbox{\cal{A.}} Etude d'une fonction,

Soit 3$f la fonction définie sur 3$]0;1] par :

       3$f(x)=\fr{1}{3}x^3-\ell n(x)-\fr{1}{3}

3$\fbox{1.} Justifiez que 3$f est décroissante sur 3$]0;1]

3$\fbox{2.} 3$\lambda est un réel strictement positif, On pose 3$\cal{I}(\lambda)=\Bigint_{\lambda}^1 f(t) \ \text{d}t

          3$a) Calculez 3$\cal{I}(\lambda) en fonction de 3$\lambda.
          3$b) Quelle est la limite de 3$\cal{I}(\lambda) lorsque 3$\lambda tend vers 3$0.

4$\fbox{\cal{B.}} Suites et intégrales,

3$n est un entier naturel supérieur ou égal à 3$2.On découpe l'intervalle 3$]0;1] en 3$n rectangle de largeur 3$\fr{1}{n}.

3$\fbox{1.}a) 3$k est un entier tel que 3$1\le k\le n-1.
Démontrez en utilisant les résultats de la partie précédente que :

                 3$\reverse \opaque \fbox{\fr{1}{n}f\(\fr{k+1}{n}\)\le \Bigint_{\fr{k}{n}}^{\fr{k+1}{n}} \ f(t) \text{d}t\le \fr{1}{n}f\(\fr{k}{n}\)

     3$b) Déduisez-en que :

                 3$\reverse \opaque \fbox{ \fr{1}{n}\[f\(\fr{2}{n}\)+f\(\fr{3}{n}\)+...+f\(\fr{n}{n}\)\]\le \Bigint_{\fr{1}{n}}^1 \ f(t) \ \text{d}t\le \fr{1}{n}\[f\(\fr{1}{n}\)+f\(\fr{2}{n}\)+...+f\(\fr{n-1}{n}\)\] \ \ \ [1]

     3$c) En utilisant la courbe 3$\cal{C}, quelle interprétation pouvez-vous donner de cet encadrement ?

3$\fbox{2.} Pour tout entier 3$n\ge 2, on pose :

                  3$\reverse \opaque \fbox{\cal{S}_n=\fr{1}{n}\Bigsum_{k=1}^n f\(\fr{k}{n}\)

    3$a) Déduisez-en de 3$[1] que 3$\cal{I}\(\fr{1}{n}\)\le \cal{S}_n\le \cal{I}\(\fr{1}{n}\)+\fr{1}{n}f\(\fr{1}{n}\)

    3$b) Démontrez alors que 3$\lim_{n\to +\infty} \ \cal{S}_n=\fr{3}{4}

3$\fbox{3.} Dans cette question, on se propose d'utiliser les résultats précédents pour déterminer la limite de la suite 3$\(u_n\) définie pour tout entier 3$n\ge 1 par 3$u_n=\fr{\sqrt[n]{n!}}{n}.

    3$a) Démontrez par récurrence que 3$\Bigsum_{k=1}^{n} \ k^3 \ = \ \[\fr{n(n+1)}{2}\]^2

    3$b) Justifiez que pour tout entier 3$n\ge 1 que :

              3$\reverse \opaque \fbox{\Bigsum_{k=1}^n \ \ell n\(\fr{k}{n}\)=\ell n\(\fr{n!}{n^n}\)

    3$c) Déduisez-en que pour tout entier naturel 3$n\ge 2:

              3$\reverse \opaque \fbox{\cal{S}_n=\fr{1}{12n^4}[n(n+1)]^2-\fr{1}{n}\ell n\(\fr{n!}{n^n}\)-\fr{1}{3}

    3$d) Trouvez alors 3$\red \fbox{\lim_{n\to +\infty} \ \fr{1}{n}\ell n\(\fr{n!}{n^n}\) puis déduisez-en celle de 3$(u_n)


Voilà Voilà Bon courage Et blanqué vos réponses svp

Posté par
girdavre : Exercice d'entrainement niveau TS 03-08-09 à 22:47

Bonsoir.

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Posté par
leritale3801re 03-08-09 à 22:50

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Posté par
leritale3801re 03-08-09 à 23:19

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Posté par
hedgefunderre : Exercice d'entrainement niveau TS 03-08-09 à 23:25

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Posté par
leritale3801re 04-08-09 à 18:41

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Posté par
olive_68re : Exercice d'entrainement niveau TS 04-08-09 à 18:46

Salut

Mika >> Pour l

Posté par
olive_68re : Exercice d'entrainement niveau TS 04-08-09 à 18:53

Fausse manip

Mika >>

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girdav >>
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Pierre >>
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Merci de vos participations

Posté par
leritale3801re 04-08-09 à 19:00

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Posté par
leritale3801re 04-08-09 à 19:05

oui oliv j'ai oublié des termes désolé j'avais tout les termes sur ma feuille mes sur l'ordinateur j'en ai zapé ^^

Posté par
olive_68re : Exercice d'entrainement niveau TS 04-08-09 à 19:06

Mika >>

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Posté par
leritale3801re 04-08-09 à 19:19

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Posté par
olive_68re : Exercice d'entrainement niveau TS 04-08-09 à 20:39

Mika >>

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Posté par
girdavre : Exercice d'entrainement niveau TS 04-08-09 à 21:38

Bonsoir.

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Posté par
leritale3801re 04-08-09 à 23:42

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Posté par
leritale3801re 04-08-09 à 23:59

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Posté par
leritale3801re 05-08-09 à 00:20

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Posté par
leritale3801re 05-08-09 à 00:39

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Posté par
leritale3801re 05-08-09 à 01:04

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Posté par
leritale3801re 05-08-09 à 09:53

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Posté par
leritale3801re 05-08-09 à 17:58

l'exercice
super Oliv comme d'habitude ^^

Posté par
leritale3801re 05-08-09 à 22:49

??

Posté par
leritale3801re 06-08-09 à 00:13

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Posté par
olive_68re : Exercice d'entrainement niveau TS 06-08-09 à 16:53

Je vais regarder ce soir si je me sens d'attaque je n'ai pas oublié t'inquiète

Posté par
leritale3801re 06-08-09 à 17:03

ok ok Olive pas de problème prends ton temps ;)

Posté par
leritale3801re 11-08-09 à 08:44

salut Olive je n'ai pas de nouvelle fais moi signe quand tu as le temps
Mika;)

Posté par
geronimo 652re : Exercice d'entrainement niveau TS 11-08-09 à 10:25

salut Olive et leritale !

J'ai une petite question à propos du latex car dans ce genre d'exercice, ce qui m'ennuit le plus, c'est de tout taper!
Donc ma question était: est-ce que vous utilisé un logiciel ou autre , ce qui vous permet d'aller plus vite? d'ailleur je ne sais pas si un tel logiciel existe...

merci d'avance
gero

Posté par
leritale3801re 11-08-09 à 13:13

salut à toi geronimo 652 on dérive un peu du sujet

oui on utilise latex je te laisse regarder le fonctionnement sur le forum:
-> [lien]

sinon oui il existe bien un logitiel mais je vais t'avouer que au début tu vas galérer c'est pas de la tarte
si tu es sur windows tu dois télécharger miktex (se sont tout les packages utilisés par latex)
ensuite télécharge teXnicCenter qui est un logitiel de traitement de texte pour pouvoir taper tes formules en latex
tu dois aussi télécharger :
GSview,et Ghostscript qui sont des logitels pour pouvoir visionner tes documents tu as aussi adobe que tu as normal sur ton PC

si tu veux plus d'information sur latex tape sur google latex tu y trouveras tout pour l'installer ainsi que pour le fonctionnement

voilà si tu as des questions  n'hésite pas sinon BON COURAGE ...

Posté par
leritale3801re 11-08-09 à 13:17

en fait au début ça te prends beaucoup de temps pour faire un document après qu'en tu as l'habitude et que tu connais très bien la syntaxe ça va très vite voilà

Posté par
olive_68re : Exercice d'entrainement niveau TS 11-08-09 à 19:39

Salut

Heureusement que tu me le rappel ! Merci je vais te corriger ça se soir Encore désolé pour le retard !

Posté par
geronimo 652re : Exercice d'entrainement niveau TS 11-08-09 à 21:05

merci pour les info sur le Latex leritale...

Posté par
leritale3801re 11-08-09 à 22:28

de rien géronimo...

mais Olive c'est pas grave ... il vaut mieux passer du temps à aider des personnes en difficulté comme tu le fais remarquablement que de regarder mes réponses à ce topic ^^ mais j'attends tout de même ton opinions sur l'exercice


merci encore OLIVE


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