Bonsoir

C'est quoi ? Et l'étoile signifie l'ajoint?

Fractal

Salut !

En fait, défini positif c'est et non qui est celui des endomorphismes positifs !

Oki, et ça veut dire quoi un endomorphisme positif, ou défini positif?
Et le "> 0" à la fin du i) signifie "défini positif"?

_{Désolé, mes connaissances en algèbre linéaire s'arrêtent à la sup ^^}

Fractal

désolé mais mes connaissances n'arriveront jamais de la vie aux tiennes ^^

En fait le S nous laisse parler aussi d'un endomorphisme symétrique ...

Bon:

est l'ensemble des matrices symétriques positives, c'est-à-dire des
matrices A de vérifiant : pour tout vecteur colonne X non nul, .

est l'ensemble des matrices symétriques définies positives, c'est-à-dire des
matrices A de vérifiant : pour tout vecteur colonne X non nul, .

Donc un endomorphisme symétrique défini positif est un endomorphisme dont la matrice est définie positive !

_{un endomorphisme symétrique est bien un endomorphisme auto-adjoint !}

_{encore un autre truc, il faut ajouter le indice n pour les matrices , est celui des endomorphismes.}

Oki, et pour le "> 0"?

Fractal

Euh je pense que oui... il faut montrer que c'est défini positif à mon avis !

Merci

Bon, maintenant j'arrête de polluer le défi avec mes questions stupides et je cherche ^^

Fractal

_{je chercherai aussi peut-être ... ^^}

Alors,

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i) => ii)

étant défini positif, il existe un réel m strictement positif tel que pour tout x de norme 1, .
On a donc pour tout x non nul, , ce qui donne , d'où, puisque v est défini positif, .

En appliquant cette inégalité à on obtient
Par récurrence immédiate, il vient donc que pour tout entier naturel n, on a
et donc est majoré ce qui signifie que tend vers 0 pour tout x, donc tend vers 0 quand n tend vers l'infini.


Je cherche pour la réciproque.

Salut,
Indication les gars ?

Ce que j'ai écrit pour l'instant est juste?

Sinon je n'ai pas encore vraiment cherché l'autre sens, donc pas encore d'indication pour moi svp

Fractal

Salut !

Pour le sens direct :

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Je note le produit scalaire, et la norme euclidienne sur
Je note aussi la norme d'algèbre induite par la norme de sur
Je note le spectre de l'endomorphime .

, donc v est diagonalisable, à valeurs propres réelles strictement positives, et les espaces propres de v sont orthogonaux.
Ainsi, il existe une famille de projecteurs orthogonaux , telle que

est défini positif, ce qui se traduit par :
, non nul.
Par la suite, x sera supposé non nul.

Donc,

Pour un fixé,

et, de la même manière,


L'inégalité plus haut devient donc :



On a donc , , et par consequent .

Montrons que ,


Or, , donc
,

On a bien prouvé que

Je me permet de rajouter cette information, ca me semblait clair, mais rédigé comme cela, ca l'es moins :

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Je peux diviser l'inégalité, sans en changer le sens, par , car tous les sont strictement positifs, et donc la somme est strictement positive.

Mea culpa

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J'ai utilisé des propriétés fausses pour les normes.
Je ne sais pas ce qui m'a pris ...

Salut,

Je vois que ca chauffe par ici

Fractal :

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Continue, je crois que cé bon !

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Concentre-toi ! essayes de revoir les cours que tu vas utiliser et commence à rédiger doucement ! Bon courage ...