Bonjour Nightmare,

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Il faut utiliser le TAF, non ?
Merci de me dire si je suis sur la bonne voie

Rouliane, je ne sais pas où ca menerait. Pourquoi pas, mais il faudrait que tu donnes ton idée, parce que devant un tel exercice il y'a plusieurs solutions.

Par exemple

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le théorème de Cesaro pourrait nous permettre de conclure

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g(x)=f'(x)-1, ainsi g(x)=o(1) au voisinage de l'infini, on intègre, et G(x)=o(x) en l'infini, où G'=g.
Notamment (G(x)-x)/x=o(1) en l'infini, et G(x)=f(x)+cte ce qui permet de conclure.

Merci de vos réponses

Otto :

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Pourrais-tu me montrer comment procéder avec le théorème de Césaro ?

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Oui, c'est avec le TAF que j'ai réussi à le démontrer

Nightmare

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En fait le théorème de Cesaro est quasiment l'énoncé du résultat que tu énonces, ce serait donc un peu circulaire. Le mieux serait donc de le démontrer, avec des epsilon et delta. Sinon la deuxième démo que je donne permet de le démontrer également

Franchement Nightmare tu ne trouves rien de mieux que de nous parler du "TAF" alors qu'on est en vacances

otto, je pensais à ça en gros :

( ne pas faire attention à la rigueur, je rédige vite par flemme )

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Vu que lim f'(x)=l alors, pour tout espilon >0 , il existe a tel que, pour tout x>a, |f'(x)-l|< espilon. c'est à dire l-epsilon f'(x) l+epsilon (1)
De plus, f est dérivable sur ]0, +oo[ donc, d'après le TAF, il existe tel que

On a donc pour x>a, (x-a)(l-epsilon) f(x)-f(a) (x-a) (l+epsilon)

On fait passer le f(a) de chaque coté puis on divise tout par x qui est positif, et alors on a le résultat

Désolé encore pour la rédaction, je pourrais la mettre au propre plus tard si vous voulez

Arf, le latex n'aime pas le blank

il faut lire :

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il existe c dans ]a,x[

Oui en gros c'est ça bravo

Je peux en proposer un autre, du même genre, je dois avoir ça dans mes cours

Oui pourquoi pas

Alors voilà l'exo :

Soit f une fonction dérivable sur , telle que f admet une limite finie en .
Montrer que si f' admet une limite finie en , alors .

Petite remarque :  si f admet une limite finie en +oo, f' n'admet-elle pas forcément, elle aussi, une limite finie ?
( c'est à dire qu'on aurait pas besoin ici de la condition f' admet une limite finie l en +oo )

J'ai un doute, merci de m'éclairer

Bonjour;
Attention Rouliane,une fonction numérique dérivable sur peut trés bien admettre une limite finie en sans que admette de limite en
exemple : (sauf erreur)

Oui, pardon c'est dérivable sur .

Bonsoir

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supposons par l'absurde que l est non nulle. Alors, f'(x) est équivalente à l à l'infini et comme l est non nulle, alors f' n'est pas intégrable. Mais le fait que f admette une limite finie implique que f' est intégrable, ce qui est absurde, d'où l=0

Je ne connaissais pas cette méthode, Kaiser, c'est très intéressant en tout cas.

Pourrais-tu répondre stp à mon message de 18:37 stp ? ( en considérant f dérivable sur [0;+oo[ )
Merci

En fait, ce n'est pas le 0 qui pose problème mais le comportement en l'infini.
Le problème est que le graphe de f peut s'approcher infiniment de l'axe des abscisses en oscillant rapidement (ce qui interdirait une limite finie à la dérivée). D'ailleurs, Elhor a donné un contre-exemple.

Ah oui, merci !

J'avais pas compris qu'il répondait à mon message de 18:37.
Et je pensais bêtement que ça venait du pb en 0, mais ça n'a effectivement rien à voir.

Il faut donc bien préciser " si f' admet une limite finie...." , ce qui n'était pas le cas dans l'énoncé initial. ( Ayant eu un doute, je l'ai ajouté, parce que la correction que j'ai suggerait cette hypothèse)

Merci à toi et à Ehlor

Pour ma part, je t'en prie !

Par contre, est ce que tu aurais une idée d'une fonction dérivable sur [0;+oo[ qui soit aussi un contre-exemple ?

En tout cas, l'argument des oscillations est un bon moyen pour s'en rappeller

On peut toujours adapter l'exemple d'elhor.

.

Ben oui, bien sûr !
merci.