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Exercice Libre : Limite et dérivation (sup)

Posté par
Nightmare
18-07-06 à 13:46

Bonjour à tous

Le forum se faisant un peu vide en cette période de vacance, je vous propose un petit exercice pour ceux qui ont l'envie de chercher.

Soit f une fonction définie et dérivable sur ]0;+oo[ telle que 3$\rm \lim_{+\infty} f'=l.

Montrer que 3$\rm \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=l

Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 16:40

Bonjour Nightmare,

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Rouliane

Posté par
otto
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 16:53

Rouliane, je ne sais pas où ca menerait. Pourquoi pas, mais il faudrait que tu donnes ton idée, parce que devant un tel exercice il y'a plusieurs solutions.

Par exemple

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Sinon on pose
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Posté par
Nightmare
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 16:59

Merci de vos réponses

Otto :

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Rouliane :
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Posté par
otto
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 17:02

Nightmare

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C'est un peu circulaire, je voulais donc éviter de l'utiliser.
Je pense qu'on peut le montrer entre autre par le TAF justement.
a+

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 17:22

Franchement Nightmare tu ne trouves rien de mieux que de nous parler du "TAF" alors qu'on est en vacances

Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 17:33

otto, je pensais à ça en gros :

( ne pas faire attention à la rigueur, je rédige vite par flemme )

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Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 17:33

Arf, le latex n'aime pas le blank

Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 17:39

il faut lire :

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Posté par
Nightmare
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 17:41

Oui en gros c'est ça bravo

Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 17:43

Je peux en proposer un autre, du même genre, je dois avoir ça dans mes cours

Posté par
Nightmare
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 17:59

Oui pourquoi pas

Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 18:22

Alors voilà l'exo :

Soit f une fonction dérivable sur ]0;+\infty[, telle que f admet une limite finie en +\infty.
Montrer que si f' admet une limite finie l en +\infty, alors l=0.

Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 18:37

Petite remarque :  si f admet une limite finie en +oo, f' n'admet-elle pas forcément, elle aussi, une limite finie ?
( c'est à dire qu'on aurait pas besoin ici de la condition f' admet une limite finie l en +oo )

J'ai un doute, merci de m'éclairer

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 19:00

Bonjour;
Attention Rouliane,une fonction numérique f dérivable sur ]0,+\infty[ peut trés bien admettre une limite finie en +\infty sans que f' admette de limite en +\infty
exemple : 3$\fbox{\fbox{f{:}x\to\frac{sin(x^2)}{x}}} (sauf erreur)

Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 19:13

Oui, pardon c'est dérivable sur [0;+\infty[.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 20:43

Bonsoir

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.

Kaiser

Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 20:51

Je ne connaissais pas cette méthode, Kaiser, c'est très intéressant en tout cas.

Pourrais-tu répondre stp à mon message de 18:37 stp ? ( en considérant f dérivable sur [0;+oo[ )
Merci

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 21:02

En fait, ce n'est pas le 0 qui pose problème mais le comportement en l'infini.
Le problème est que le graphe de f peut s'approcher infiniment de l'axe des abscisses en oscillant rapidement (ce qui interdirait une limite finie à la dérivée). D'ailleurs, Elhor a donné un contre-exemple.

Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 21:08

Ah oui, merci !

J'avais pas compris qu'il répondait à mon message de 18:37.
Et je pensais bêtement que ça venait du pb en 0, mais ça n'a effectivement rien à voir.

Il faut donc bien préciser " si f' admet une limite finie...." , ce qui n'était pas le cas dans l'énoncé initial. ( Ayant eu un doute, je l'ai ajouté, parce que la correction que j'ai suggerait cette hypothèse)

Merci à toi et à Ehlor

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 21:09

Pour ma part, je t'en prie !

Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 21:13

Par contre, est ce que tu aurais une idée d'une fonction dérivable sur [0;+oo[ qui soit aussi un contre-exemple ?

En tout cas, l'argument des oscillations est un bon moyen pour s'en rappeller

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 21:16

On peut toujours adapter l'exemple d'elhor.

\Large{f(x)=\frac{sin((x+1)^{2})}{(x+1)}}.

Posté par
Rouliane
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 21:18

Ben oui, bien sûr !
merci.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Exercice Libre : Limite et dérivation (sup) 18-07-06 à 21:19



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