Bonjour,


Commençons par donne des noms. La relation que tu considères dépend d'un entier préalablement fixé, qui est noté "n" et "N", il faut se mettre d'accord, notons le n. Notons donc cette relation :




1) Montrer que est une relation d'équivalence. Pour cela, il faut monter:
a) Reflexive b) Symétrique c) Transitive

a) Est-ce que ? Autrement dit, peux tu me donner un entier k tel que x - x = kn ?
b) Il faut montrer que , autrement dit, si je te dis qu'il existe un entier (relatif !) k tel que x-y = kn, que peux tu dire de y - x ?
c) Je passe les détails: si x - y = kn et y - z = k'n, alors x - z = x - y + y - z = ...

Par contre la question 2 je ne comprends pas tout.
"On admet que pour tout x y [...] *quelque chose qui ne dépend pas de y*"
Et je pense que la dernière question est mal recopiée également: je ne pense pas que peu importe x et y.

Pour a on peut dire qu il existe un entier k tel que x-x=kn pour b je ne sais quoi dire de x-y=kn si ce n est que cela équivaut a x-x=kn que tu as écrit plus haut ? Sinon je ne vois pas ou cela démontre la reflexivite , symétrie et transition..
La question 2 :

Nous admettrons que pour tout x de Z et n de N* il existe un couple q,r de ZZ tel que x=nq+r et r compris entre 0etn
Les nombres q et r sont apelles quotient et reste de la division de x par n.
Démontrez qu'en pour tout x et y de Z on a xcongruy modn

Quel est ton niveau exactement ? Ton profil indique terminale, mais cet exercice n'est pas un exercice de terminale. Notamment je n'ai pas l'impression que tu sois à l'aise avec les notions de reflexivité, symétrie et transitiVITé (et non pas transition). Avais tu déjà vu la définition de relation d'équivalence auparavant ?

a) Tu me dis qu'il existe k tel que x-x = kn, il va falloir être plus précis. La meilleure façon de me prouver qu'il en existe un, c'est de me le donner. Quel est cet entier k ?

b) Je ne vois pas comment x-y = kn pourrais impliquer x-x = kn ? Ou alors pas pour le même k.
Un peu plus de détail:
Tu veux montrer que "x-y = kn" implique "y-x = k'n" pour un certain k' à déterminer. Quel est ce k' ?

c) Je ne vois pas comment te donner plus d'information sans te donner la réponse:
x - z = x - y + y - z = kn + k'n = ?

2) Effectivement, je suis d'accord avec le résultat admis. Le fait que l'exercice te suggère d'admettre ce résultat m'intrigue encore plus quant à ton parcours scolaire: j'aurais eu tendance à penser que la division euclidienne était apprise avant la notion de relation d'équivalence. Je peux me tromper.

Par ailleurs, je maintien que la question 2) est fausse:
Prenons n=2, alors x = 0 et y = 1 ne sont pas équivalents. Es-tu sûr de ton énoncé ?

J ai un niveau terminale (daeub en fait)  et cet exercice est tire d un livre de seconde année 70. J essaie justement de me familiariser avec les notions d ensembles et les relations. Donc c est assez frais...

a) Pour k ; (x-x)/n=k , donc k' serait le symétrique de k ?
c) J essaie de comprendre.

2) J ai vu la division avant bien sur
J ai oublie quelque chose a la fin de l énoncé :
Nous admettrons que pour tout x de Z et n de N* il existe un couple q,r de ZZ tel que x=nq+r et r compris entre 0etn
Les nombres q et r sont apelles quotient et reste de la division de x par n.
Démontrez qu'en pour tout x et y de Z on a xcongruy modn <=> x et y ont le même reste dans la division par n.


Encore merci de m aider a comprendre ces notions. J ai du mal sur la plupart des exercices les traitant.

Des années 70
Je comprends mieux la différence de niveau avec la terminale actuelle. Si tu fais des mathématiques pour le plaisir et que tu veux découvrir de nouvelles notions, c'est très bien (d'autant que ce sont de très belles notions ), par contre si tu prépares un concours ou examen particulier, tu devrais sans doute te procurer un ouvrage plus spécifique à ce que tu fais.

a) Malheureusement, on ne nous apprend jamais au secondaire ce qu'est une démonstration en mathématique. Ce serait pourtant la moindre des choses. Ici, lorsque l'on te demande de:

"Démontrer qu'il existe tel que ",
ce que l'on te demande, c'est de donner un entier k, puis de montrer que effectivement x - x = kn pour l'entier k que tu as donné.
Ici j'attends donc comme réponse 0:


b) "k' serait le symétrique de k ?", si par symétrique tu entends "opposé", c'est à dire k' = -k alors oui

c) Effectivement je n'ai pas été très pédagogue, j'ai supposé que tu connaissais les différentes notions (ce qui semble être un bon départ pour faire un exercice).

Petit récapitulatif:
On dit qu'une relation est:
1) Réflexive si:
2) Symétrique si:
3) Transitive si:
4) D'équivalence si elle est réflexive ET symétrique ET transitive.

Donc pour transitive: tu supposes que et tu veux monter que

Est-ce plus clair ?


2) Effectivement, ce n'est plus pareil !
Donc, même petit topo sur la tristesse de l'enseignement actuel qui n'en dit que trop peu sur ce qu'est une démonstration [...]
Il faut montrer une équivalence, comme souvent, on procède par double implication:

(=>) Si x et y sont congrus modulo n, alors il existe k tel que x - y = kn
Or il existe une unique paire (q, r) telle que x = qn + r et r vérifie [...]
De même il existe une unique paire (p,t) telle que y = pn + t et t vérifie [...]
Donc x - y = qn + r - pn - t = kn
En réécrivant on arrive à n(k - p - q) = r - t
Et on conclue en disant que comme 0 < r < n et 0 < t < n alors -n < r - t < n et donc nécessairement r-t = 0.

Je conçois que cette démonstration te déboussole et te paraisse faites de choses nouvelles et inconnues, n'hésite pas à poser des questions pour bien la comprendre.

(<=) Si x et y ont même reste, alors x = qn + r et y = pn + r et je te laisse conclure

Un grand merci pour ces explications!
En effet je ne suis pas a l aise pour démontrer (et comprendre aussi). Et meme certains exercices ou je comprends j ai beaucoup de mal a le démontrer. J espere justement remédier a ça avec ces cours plus anciens. Ainsi qu aborder les aspects ensembles relations et opérations qui, je me trompe peut être mais j espère qu en ayant assimiler ces notions d ensemble relations et opérations, je ferai autre chose qu appliquer des recettes sans les comprendre.  

Je ne saurais pas te dire si les cours plus anciens sont "mieux faits", s'ils expliquent mieux, ou encore si la notion de démonstration y est un peu plus mise en avant. Je te souhaite que les notions d'ensembles et relations éclaircissent les points qui te posent problème, même si je ne suis pas convaincu qu'ajouter une couche de formalisme illumine grand chose (avis très personnel). Bon courage pour la suite, n'hésite pas à poster un nouvel exercice si tu as besoin d'aide

Bonjour, j ai refait l exercice et je commence un peu mieux a comprendre. Par contre je me demandai dans le cas de la transitivité, quelle type de relation ne l est pas. Quelle opération par exemple ? Ou même fonction.
Dans le cas de l exercice tu fais ma somme de x-y + y-z. Dans le xRy "et" yRz, le "et" devient toujours une addition?

Sinon la dernier partie de l exercice demande de chercher les éléments de Zn. Je la poste après ta reponse sur la transitivité.

Un exemple de relation non transitive:
R une relation sur


On a 3R2 et 2R1 mais pas 3R1.
Cette relation n'est pas non plus symétrique, ni même réflexive.

Le "et" dans la transitivité s'exprime toujours comme une somme: non.
L'exemple le plus simple est l'égalité:

Si


Je trouve que tu te poses les bonnes questions, tu as une bonne compréhension dans l'ensemble. J'attends ta proposition pour les éléments de Zn

A partir du moment ou un entier invariable est dans la relation, il n y a pas de transitivité ?
Pour Zn l énoncé dit : Toute classe d équivalence mod n est apelle entier mod n et se notera x x étant élément de la classe. Zn sera l ensemble de ces entiers mod n. Trouver tout les éléments de Zn en particulier ceux de Z2 et Z5.

J essaye de comprendre ce qui est demande.. modn est le reste de la division par n ? La classe d equivalence par contre ce serait classe k?

Je ne comprends pas ta remarque: qu'appelles tu un entier "invariable" dans la relation ? Tu fais référence au fait que j'utilise l'entier 1 pour définir ma relation ?
Si c'est le cas voici un autre exemple:

Encore une fois, ce n'est pas symétrique, pas réflexif, pas transitif. C'est un exemple complètement idiot, je te l'accorde, mais c'est pour que tu rendes compte que l'on peut exprimer presque n'importe quoi avec une relation. Il est donc naturel de regarder surtout certaines relations, notamment les relations d'équivalence (qui sont réflexive, symétrique, transitive) ou encore les relations d'ordres (qui sont réflexive, antisymétrique et transitive).
Note aussi que dans la relation de l'exercice, "n" est un entier invariable (selon tes termes), et pourtant la relation est transitive. Conclusion: désolé, mais il n'y a pas d'astuce aussi simple pour repérer la transitivité.


Pour en revenir à l'exercice, voici quelques points de rappels qui te permettront de comprendre la question: (c'est l'inconvénient de s'attaquer à un exercice pour lequel on a pas été préparé, même si l'initiative reste courageuse).

Lorsque une relation R est une relation d'équivalence, et que xRy on dit que x et y sont équivalents. On appelle "classe d'équivalence" d'un élément x (pour une relation d'équivalence R) l'ensemble:

c'est à dire l'ensemble des éléments équivalents à x.
Remarque que si x et y sont équivalents, alors

L'une des propriétés agréables d'une relation d'équivalences, c'est que ses classes d'équivalences forment une partition de l'ensemble, c'est à dire que tout élément est dans une ET UNE SEULE classe d'équivalence. L'autre façon de le voir c'est que l'union de toutes les classes vaut tout l'ensemble, et les classes sont disjointes (elles n'ont pas d'éléments en commun).
En notation mathématique: soit l'ensembles des classes d'équivalences:
(si R est une relation sur l'ensemble E)



(Comme tu peux le voir, le langage mathématique ne rends pas toujours les choses plus claires, mais il évite les ambiguïtés).

Ici, Zn est l'ensemble des classes (que j'ai noté dans mon explication) pour la relation . On te demande de donner cet ensemble. Commençons par un exemple, trouvons Z2.
Pour cela, je te donne des questions intermédiaires:

1)
a) Est-ce que ?
b) Est-ce que ?
c) Est-ce que ?
d) Est-ce que ?
e) Est-ce que ?
f) Quel est l'ensemble des éléments équivalents à 0 ? Autrement dit donne moi cl(0)
g) Idem: donner cl(1)
h) cl(2) ?
i) Finalement, quel est Z2 ?

2) Essaie de faire pareil pour Z5
3) Et pour Zn ?


PS: oui modn peut être vu comme le reste de la division par n

0 \equiv_2 1 veut dire l élément 0de classe Z2 et 1 élément de classe Z2 ?
Ces éléments de la classe Z2 sont les restes de la division par n ?
Si c est le cas je dirai oui pour a) pour b) et les suivants (a part1 \equiv_2 3) ça fait beaucoup d éléments pour la classe Z2 qui n en contient que 2 si j ai bien compris?

Je ne pensais pas que tu connaissais LaTeX, mais si tu prends la peine d'écrire des expressions LaTeX, autant les rendre jolies en insérant les balises appropriées notée LTX en bas de la zone de saisie de message.

veut dire qu'il existe k tel que 0 - 1 = k*2, c'est toujours la définition du tout début (tu te souviens je lui avais donné un nom pour que ce soit plus pratique).

Effectivement, tu as vu tout de suite le résultat, Z2 a deux éléments qui sont les restes possibles dans la division par 2. Ceci dit, attention au vocabulaire, Z2 est un ensemble de classe d'équivalence, mais n'est pas une classe lui même.
Donc, avec la bonne définition de \equiv_2, quelles sont les réponses aux questions a, b, c, ... ?

Non je ne connais pas latex, j ai fait un copier coller de ton message et je n ai pas réussi a éditer ensuite
Pour a) je dirai vrai et pour b) a e) je dirai faux.
f) l ensemble d éléments équivalent a cl(0) c est Zn ?
g) Pour cl(1) c est Zn ? Z2 contient cl(0)= 2k et cl(1) = 2k+1?
h) Dans ce cas idem pour Cl(2) = 2k+2
I) Z2 c est cl(0) et cl(1)?

Ah oui effectivement, je ne pensais pas que le copier coller marchait, merci pour la découverte !

a) Si tu penses que c'est vrai prouve le moi
On verra b) à e) ensuite.

f) Tu te perds dans les notations:
Zn est l'ensemble des classes de , c'est à dire

On cherche quels sont les éléments réellement distincts dans cet ensemble
(tu sais par exemple que { 1; 1; 1; 1} = {1})
De plus, ici j'ai pris l'exemple de Z2, donc il n'y a plus de n. Donc cl(0) peut pas être Zn.

g) Par contre je ne comprends pas comment de choses fausses tu parviens à me dire quelque chose de juste: Z2 contient cl(0) et cl(1), même si l'écriture cl(0) = 2k est un peu maladroite (on écrirait plutôt cl(0) = { 2k | k dans Z}

h) Cl(2) = { 2k+2 | k dans Z } oui c'est vrai, mais peut-on simplifier ?
{2k+2 | k dans Z } = {2k | k dans Z } = cl(0)
Peut être que tu vois où je voulais en venir.

i) Oui effectivement, Z2 = { cl(0); cl(1) }, mais comme je le dis en g), je ne comprends pas comment tu y arrives, sachant que les réponses données en a) - e) sont fausses.

a) si il existe k tel que 0-1=k2 Cela est vrai si k=0.
En fait si je fait la même chose avec les autres ça ne me parait respecter modn... Par exemple:
0=2k+2 si k=0 ça donne 0 equiv 4 avec mod 2.
Si Z2 normalement cela ne devrait pas depasser 3 puisque n=0,1,2. Cela serait possible si Z3?
Du coup je suis bloque pour la suite.Il y a quelque chose que j ai mal compris je pense.

a) Cela est vrai pour k=0: en es tu sûr ?
Si k=0 alors 2*k = 0, or 0 - 1 = -1 ...

De même 0 = 2k+2 ne sera pas vrai pour k=0, mais pour k= -1
Mais effectivement, 0 equiv 4 [mod 2].

Bonjour,

Je ne suis pas sur de comprendre, donc je vais dire des betises en esperant que ça fasse avancer les choses

a) Est-ce que 0 \equiv_2 1 ?  Je ne pense pas car 0-1=2k avec k=-1/2 donc k Z ?
b) Est-ce que 0 \equiv_2 2 ?  0-2=2k avec k=-1 donc vrai ?
c) Est-ce que 0 \equiv_2 3 ?  0-3=2k k=-3/2 donc k Z
d) Est-ce que 0 \equiv_2 4 ?  0-4=2k k=-2 donc vrai
e) Est-ce que 1 \equiv_2 3 ?  1-3=2k k=1 vrai


f) Quel est l'ensemble des éléments équivalents à 0 ? Autrement dit donne moi cl(0)  

a) b) c) d)

g) Idem: donner cl(1)  

e)

h) cl(2) ?

c)

i) Finalement, quel est Z2 ?

Z2 = a)b)c)d)e)

2) Essaie de faire pareil pour Z5

C est pareil sauf qu on retrouve k5 dans x equiv_5 y

3) Et pour Zn ?
Cela donnerai x equiv_n y

Bonjour,

Dire des bêtises fais toujours avancer les choses, c'est en se trompant qu'on apprends, et il ne faut jamais être timide en math.

a) Très bien !
b) Oui !
c) Parfait.
d) bien
e) Voilà tu as tout compris

Je ne comprends pas tes réponses ensuite :/

Ok donc tu as bien compris comment marche la relation d'équivalence, maintenant il faut bien voir que les classes d'équivalences sont des ensembles.
Par exemple:
Si tu comprends ça tu as tout compris, et tu peux me donner la même chose pour cl(1) On verra ensuite les autres questions.

Je ne suis pas sur de l'ecrire en langage parfaitement mathematique). Cela donnerait :

Cl(1) c est y | 0 equiv2 y =  y | tel qu'il existe k Z et 1-y=2k = -y=2k+1

Par contre tu passes de 0-y=2k a y=2k, pourquoi y change t'il de signe ?

Je n'arrive pas a éditer concernant ma question : "Par contre tu passes de 0-y=2k a y=2k, pourquoi y change t'il de signe ?", n'en tiens pas compte, je viens de voir mon erreur

Et je voulais dire :

Cl(1) c est y | 1 equiv2 y =  y | tel qu'il existe k Z et 1-y=2k = -y=2k+1

Et non pas 0 equiv2 y comme j'ai écrit trop rapidement. Dans la foulée pour i) :

Cl(2) c est y | 2 equiv2 y =  y | tel qu'il existe k Z et 2-y=2k = -y=2k+2

C est justement ce que je me demandai J'avais seulement regarder les opérations sans tenir compte que le signe de k pouvait changer.
Tu vas me dire si je me trompe pour "1-y=2k= -y = 2k+1" je me suis trompe car j'ai  garde le signe de 1 en fait ce serait plutôt 1-y=2k <=> y=-2k+1 que je voulais écrire. Et donc comme k appartient a Z on ne met pas de signe devant k et on l'écrit y=2k+1 ?
Z2 contient deux classes qui sont équivalentes a toutes celle que l'on peut trouver dans Zn ?
Z5 ça donnerait cl(0) cl(1) cl(2) cl(3) cl(4) ou cl(0)=cl(2)=cl(4) et cl(1)=cl(3) ?

Je voulais dire que : comme il existe un qui k appartient a Z on ne met pas de signe devant k et on l'écrit y=2k+1 ?
Par contre dans le cas ou le signe de k change celui de y aussi. On change le signe pour que y soit positif ? Ça ne pose pas de problème car on est dans des ensembles et classes qui appartiennent a N et qu'il n'en existe pas de négatives ?

Encore une question concernant ce changement de signe tu dis :
"Le changement de signe vient du quantificateur existentiel (). Il s'agit d'une subtilité du langage logique,
les propositions: \exists k. y = -k et \exists k. y = k sont équivalentes, mais pas pour la même valeur de k ! "

Est ce que cela "prouve" la symétrie de la relation d'équivalence x congru y modn ?
De la même manière dans le cas d'une relation anti symetrique, k et y se "comporterait" de la même façon ?

Oui, il se trouve qu'ici c'est comme ça que l'on prouve la symétrie. Par contre ne faisons pas de généralité, pour une relation antisymétrique, qui est k ? Pour une autre relation tout court d'ailleurs, k n'est à priori pas défini.

Je ne comprends pas bien ton message:

Oui dans la relation anti symétrique tout dépendrait de la relation de ce qu'est k. Mais c etait pour essayer d avoir une vue un peu plus large.
Par contre n'hésite pas a rentrer dans des détails, ou de tenter d'éclaircir cette mystérieuse histoire de signe. Comme tu dis je confond peut être des choses.
Ce n'est pas a mon programme mais j'ai envie de faire une partie du programme année 70 de lycée pour le plaisir et j'envisageai aussi éventuellement de m'inscrire a une UE ou deux de maths a la rentrée.

Si c'est pour le plaisir, c'est autre chose alors


Bon je vais essayer d'être clair:


Si tu as: -y = 2k, il est HORS DE QUESTION d'en déduire y=2k. C'est faux.
Par contre, si tu as "il existe un k tel que -y=2k", alors tu PEUX en déduire que "il existe un k  tel que y=2k". La lettre k est ce que l'on appelle une variable liée. Elle est liée à ce que l'on appelle un quantificateur, ici le quantificateur existentiel (noté , l'autre étant le quantificateur universel ). On appelle l'alpha-conversion l'opération qui consiste à "renommer" une variable liée, et l'alpha-conversion est toujours autorisée, autrement dit:
Si il existe k tel que -y = 2k, alors je peux dire qu'il existe a tel que -y = 2a, ou encore il existe 'mouton' tel que -y = 2'mouton'.
Les variables liées, je leur donne le nom que je veux (tant que je leur donne bien le même nom partout).

Ici, on sait qu'il existe k tel que -y =2k. Alors (en prenant k' = -k), je peux dire qu'il existe k' tel que -y = -2k, c'est à dire il existe k' tel que y=2k'. Oui mais k' est une variable liée, donc je peux l'appeler k si ça me chante ! Et donc il existe k tel que y=2k.

La théorie qui formalise tout ceci s'appelle la Logique. Malheureusement, c'est quelque chose que même les étudiants en mathématiques ne voient pas vraiment. Si toutefois cela t'intéresse, ce sont des choses que l'on voit rapidement en début de math sup, tu devrais pouvoir trouver des exercices qui t'apprennent à manier les quantificateurs et , ainsi que les notations ensemblistes, et qui te permettront de voir les principaux pièges.

Merci beaucoup pour ces explications J ai des exercices de ce type dans mon 1er chapitre justement. Une fois celui ci fini ce sera celui sur les lois de compositions internes juste après puis opérations sur fonctions numérique et enfin relation d'ordre totale. Je mets de cote la géométrie pour pouvoir regarder le cours de première avant aout. J'aurai surement d'autres questions a venir poser

Très bien n'hésites pas
J'espère avoir été clair, dis le moi sinon