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Niveau terminale
Exercice loi binomiale et algorithme de dichotomie
Posté par clacla127903
Bonjour j'ai un devoir et je bloque sur cet exercice (l'énoncé est un peu long):
« C'est l'anniversaire de Max . Il a reçu un aquarium sphérique suspendu qui selon la notice ne doit jamais être rempli au-delà des deux tiers de son volume total.
Max cherche la hauteur maximale que peut contenir l'aquarium.
Mise en équation du problème
1) On modélise l'aquarium par une boule de rayon r = 6 cm . Déterminer son volume V
2) On remplit l'aquarium d'eau jusqu'à une hauteur h.
a) Dans quel intervalle peut varier h ?
b) En recherchant la formule donnant le volume d'une calotte sphérique, exprimer le volume d'eau en fonction de la hauteur h
c) Justifier alors que la résolution du problème revient à celle de l'équation :
Algorithme de dichotomie
18h^2−h^3−576=0
Algorithme de dichotomie
Nous allons utiliser pour résoudre ce problème une méthode algorithmique dite de dichotomie
1) Un premier encadrement
A l'aide du menu graph de votre calculatrice, afficher la courbe représentative de la
fonction f définie par
f(x) = 18x^2−x^3−576 sur l'intervalle [0;12] et donner un encadrement par deux entiers de la hauteur h0 recherchée
2) Principe de la méthode de dichotomie
a) Quel est le signe de f (7,5) ?
b) Proposer alors un nouvel intervalle auquel doit appartenir h0 ?
c) On donne l'algorithme suivant et son code en python
Fonction f(h) :
retourner 18h2−h3−576
Fin fonction
a←7
b←8
Tant que b-a>0,1 faire
m← (a+b)/2
Si f(m) > 0 alors
m←b
Sinon
m←a
Fin Si
Fin Tant Que
Afficher a et b
Cet algorithme itère le procédé décrit dans la question précédente afin d'obtenir un encadrement de h0 d'amplitude inférieure à 0,1
Appliquer cet algorithme en recopiant sur votre copie le tableau qui suit et en le complétant (il faudra rajouter des lignes.)
| etapes | Milieu m | f(m) | intervalle [a;b] contenant h0 | intervalle [a;b] contenant h0 |
| /// | /// | /// | a | b |
| 0 | /// | /// | 7 | 8 |
| 1 | 7,5 | ... | ... | ... |
| ... | ... | ... | ... | ... |
Il faut seulement remplir les cases avec les « ... »
Quel couple cet algorithme affichera-t-il ?
d) A titre d'entrainement , programmer cet algorithme sous mu-editor et vérifier les résultats de la question précédente
e) Quelle ligne de l'algorithme en python faut-il modifier pour obtenir un encadrement
d'amplitude 10^−2 ?
Plus généralement, créer une fonction en python appelée dichotomie qui prend en
argument l'amplitude souhaitée et retourne un encadrement de h0 »
Merci beaucoup d'avance
Pour l'instant je n'ai réussi qu'à faire la question 1
Et j'ai trouver environ 904,78 cm cube. Mais je ne vois pas comment faire le reste
garde les valeurs exactes pour la suite
V = 288
tu as fait un petit dessin ?
la hauteur h de l'eau peut varier de quelle à quelle valeur (dans l'absolu)
b) En recherchant la formule donnant le volume d'une calotte sphérique,
tu as recherché ? quelle formule as-tu trouvée ?
clacla127903 @ 29-12-2020 à 21:22
Et si j'ai bien recopié l'énoncé comme il était
Et si j'ai bien recopié l'énoncé comme il était
les flèches sont dans le sens "b vers m" ou "m vers b", dans ton énoncé ?
clacla127903 @ 29-12-2020 à 21:57
J'ai trouve qu'on pouvait mettre 192
cm cube d'eau max mais je ne comprend pas pour h
J'ai trouve qu'on pouvait mettre 192
cm cube d'eau max mais je ne comprend pas pour hOu plutôt 288
-192?oui, (2/3) * 288 = 192 est le volume maximal d'eau que l'on peut mettre dans l'aquarium.
ceci pour le volume, mais on ne sait pas à quelle hauteur d'eau h cela correspond.
et le but de l'exercice est de trouver cette hauteur h.
c'est plus clair ?
Volume calotte sphérique=/3*h^2*(3r-h) ---- oui, si on remplit l'aquarium jusqu'à une hauteur h.
et donc, il faut que ce volume soit égal à 192 .
on peut ainsi poser une équation, dont l'inconnue est h.... laquelle ?
commence déjà par la simplifier...
r, tu connais !
puis en manipulant un peu cette égalité, tu dois arriver à l'équation 18h²−h³- 576=0
tu ne pourras pas résoudre cette équation de degré 3, on ne te le demande pas.
... d'où la seconde partie de l'exo "Algorithme de dichotomie "
2b) on a Pi/3*h^2*(3r-h) donc v'=6pi*h^2-(pi*h^3)/3 (en développant)
C) cela donne la hauteur max d'eau
Algo
1) h0 compris entre 7 et 8
2) a)le signe de f(7,5) est + car f(7,5)=14,625
b) f(7) est négatif et f(8) positif et comme f(7,5) est positif aprs h0 est entre 7 et 7,5
Ensuite le tableau je l'ai fait jusqu'à l étape 4
Cet algorithme affichera le couple à= 7,3125 et b= 7,375
e) la ligne 7 et mettre 0,01
le "parfait" est pour ton message de 11h27
clacla127903 @ 02-01-2021 à 11:23
2b) on a Pi/3*h^2*(3r-h) donc v'=6pi*h^2-(pi*h^3)/3 (en développant)
C) cela donne la hauteur max d'eau
2b) on a Pi/3*h^2*(3r-h) donc v'=6pi*h^2-(pi*h^3)/3 (en développant)
C) cela donne la hauteur max d'eau
là, non
2) b) tu avais déjà répondu à la question 29-12-20 à 21:54
il te restait à remplacer r par 6 pour terminer la question
on ne te demande pas d'étudier la fonction pour cherche son maximum.
c) tu ne réponds pas à la question : relis 29-12-20 à 23:15
carita @ 02-01-2021 à 11:34
le "parfait" est pour ton message de 11h27
là, non
2) b) tu avais déjà répondu à la question 29-12-20 à 21:54
il te restait à remplacer r par 6 pour terminer la question
on ne te demande pas d'étudier la fonction pour cherche son maximum.
c) tu ne réponds pas à la question : relis 29-12-20 à 23:15
le "parfait" est pour ton message de 11h27
clacla127903 @ 02-01-2021 à 11:23
2b) on a Pi/3*h^2*(3r-h) donc v'=6pi*h^2-(pi*h^3)/3 (en développant)
C) cela donne la hauteur max d'eau
2b) on a Pi/3*h^2*(3r-h) donc v'=6pi*h^2-(pi*h^3)/3 (en développant)
C) cela donne la hauteur max d'eau
là, non
2) b) tu avais déjà répondu à la question 29-12-20 à 21:54
il te restait à remplacer r par 6 pour terminer la question
on ne te demande pas d'étudier la fonction pour cherche son maximum.
c) tu ne réponds pas à la question : relis 29-12-20 à 23:15
Ah oui d'accord je replace seulement r par 6. J'ai compris !