Exercice : majoration Bonjosérie

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Exercice : majoration Bonjosérie
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infophile  12-11-09 à 15:12
Bonjour 

Un exo sympa vu en TD :

Montrer qu'il existe un scalaire  tel que pour toute série convergente positive  on ait : 

Quelle est la meilleure constante  possible ?

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infophilere : Exercice : majoration Bonjosérie  12-11-09 à 15:12
Oups mon bonjour s'est retrouvé dans le titre 
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moominre : Exercice : majoration Bonjosérie  12-11-09 à 17:31

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Tsss ! c'est malin ! 
 Posté par 
infophilere : Exercice : majoration Bonjosérie  12-11-09 à 17:55
C'est pas bien de se moquer  

Non en fait c'était voulu, il s'agit bien sûr de l'inégalité de Bonjo 
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infophilere : Exercice : majoration Bonjosérie  13-11-09 à 19:58
Nobody ?
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Rudire : Exercice : majoration Bonjosérie  13-11-09 à 20:24
bonjour infophile

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faut utiliser les ln ?

rudy
 Posté par 
infophilere : Exercice : majoration Bonjosérie  13-11-09 à 21:12
Bonjour Rudy 

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Pourquoi pas, mais pas dans la solution que j'ai.
 Posté par 
borneore : Exercice : majoration Bonjosérie  13-11-09 à 22:31
Salut Kévin

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C'est dur  
 Posté par 
elhor_abdelali re : Exercice : majoration Bonjosérie  14-11-09 à 00:07
Bonjour infophile ;  

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C'est l'inégalité de Carleman  la meilleure constante est   sauf erreur bien entendu

et la preuve est assez astucieuse d'ailleurs !
 Posté par 
infophilere : Exercice : majoration Bonjosérie  14-11-09 à 23:12
Bonsoir ehlor 

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oui, c'est pas évident évident !

Un indice ?
 Posté par 
elhor_abdelali re : Exercice : majoration Bonjosérie  15-11-09 à 00:54
Bonsoir infophile 

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Soit  une suite à termes strictement positifs (qu'on suppose dans un premier temps quelconque) 

en écrivant  et en utilisant l'inégalité arithmético-géométrique 

il vient  d'où 

en inversant les deux sommes (finies) on a 

choisissons maintenant la suite  de telle sorte que pour tout  on ait  c'est à dire choisissons 

on a alors 

d'où   sauf erreur bien entendu
 Posté par 
infophilere : Exercice : majoration Bonjosérie  15-11-09 à 09:58
Bravo ehlor 

Reste à démontrer que cette constante est optimale 
 Posté par 
elhor_abdelali re : Exercice : majoration Bonjosérie  15-11-09 à 10:53
Merci infophile pour cet exercice intéressant :

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Pour  soit la suite  telle que  il est alors clair que 

la formule de Stirling donne  et donc   sauf erreur bien entendu
 Posté par 
Rudire : Exercice : majoration Bonjosérie  15-11-09 à 10:57
bonjour à tous les deux

désolé de vous importuner dans vos réflexions sur la série de Bonjo  mais auriez-vous un avis à donner sur ce post  developpement limité

c'est promis, je ne le referai plus (avant la prochaine fois)
 Posté par 
infophilere : Exercice : majoration Bonjosérie  15-11-09 à 14:11

Bonjour Rudi ! 

Citation :
désolé de vous importuner dans vos réflexions sur la série de Bonjo  mais auriez-vous un avis à donner sur ce post [https://www.ilemaths.net/sujet-developpement-limite-316034.html]

c'est promis, je ne le referai plus (avant la prochaine fois)

Y'a pas de mal, je le fais aussi 
  Posté par 
infophilere : Exercice : majoration Bonjosérie  15-11-09 à 14:14
Bon je vais en poster un autre, mais il y a de fortes chances qu'ehlor connaisse déjà