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Exercice niveau 1er S pour ramanujan

Posté par
mousse42 02-04-20 à 16:38

Bonjour Ramanujan

J'ai même ajouter les étoiles

Exercice **

Résoudre l'équation :

x^2+x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-4=0

Posté par
mousse42re : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 02-04-20 à 16:41

Correction désolé ajouté

Posté par
LeHiboure : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 02-04-20 à 23:31

Bonsoir,

Y a que Ramanujan qui a le droit de répondre ?

Posté par
mousse42re : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 02-04-20 à 23:52

Bonsoir,

On va le laisser chercher un peu

Posté par
matheuxmatoure : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 00:10

ça reste quand même très basique

Posté par
Ramanujanre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 02:50

Salut Mousse merci pour l'exercice.  
Matheux je dois pratiquer les basiques justement.

Je multiplie tout par x^4 ce qui donne

x^4+x^3-4x^2+x+1=0

1 est racine évidente donc  x^4+x^3-4x^2+x+1=0 si et seulement si il existe des réels a,b,c tel que :

(x-1)(x^3+ax^2+bx+c)=0 soit x^4+(a-1)x^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c=0

Par unicité des coefficients d'un polynôme on en déduit :
a=2 , b=-2 et c=-1

L'équation devient (x-1) (x^3+2x^2-2x-1)=0

Une racine simple de x^3+2x^2-2x-1=0 étant 1 on a :

x^3+2x^2-2x-1=(x-1)(x^2+dx+e)=x^3+(d-1)x^2+(e-d)x -e

D'où d=3 et e=1

Et donc l'équation initiale devient : (x-1)^2 (x^2+3x+1)=0

\Delta=9-4=5 donc x_1=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2} et  x_1=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}

Les solutions sont \boxed{ \mathcal S = \{1 ; \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2} ; \dfrac{-3-\sqrt{5}}{2} \} }

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 08:19

Bonjour,
Pour "Résoudre dans l'équation \; x^2+x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-4= 0 , la première chose à faire, c'est un ensemble de définition de l'équation.

Citation :
donc x^4+x^3-4x^2+x+1=0 si et seulement si il existe des réels a,b,c tel que :

Non, c'est : donc il existe des réels a,b,c tels que : x^4+x^3-4x^2+x+1 = (x-1)(x^3+ax^2+bx+c)

Il y a une méthode un peu plus élégante, mais je laisse mousse42 en parler si c'était dans son intention.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 08:20

Il manque un " après =0 dans la 1ère ligne.

Posté par
luzakre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 08:21

Bonjour mousse42 !
Ton choix de la constante 4 est malheureux à cause de la racine évidente.

Je propose l'équation x^2+\dfrac1{x^2}+x+\dfrac1x-1=0

Posté par
Ramanujanre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 08:50

Bonjour,

Luzak quel niveau votre exercice ?

La racine évident est faite pour simplifier c'était un exercice de niveau première pas de niveau math sup.

Posté par
luzakre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 08:52

On peut faire le mien (peut-être pas le terminer) au niveau première et complètement au niveau terminale.

Posté par
dpire : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 08:54

Bonjour,
Pourquoi la solution x=1 semble si évidente?

Posté par
Ramanujanre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 08:56

x^4+x^3-x^2+x+1=0

Je ne vois pas comment démarrer.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 09:07

Tu as démarré puisque tu as déjà transformé (sans préciser l'ensemble de définition ).
Peut-être qu'une autre transformation permet d'aboutir ?
Les outils de première suffisent.

Posté par malou Webmasterre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 09:08

Sylvieg @ 03-04-2020 à 08:19


Il y a une méthode un peu plus élégante, mais je laisse mousse42 en parler si c'était dans son intention.


ben oui, et en plus elle saute aux yeux !

Posté par
Ramanujanre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 10:47

L'ensemble de définition est \R^*

L'équation est (x^2+\dfrac{1}{x^2})+(x+\dfrac{1}{x})-1=0

Posons : z=x+\frac{1}{x}

Ainsi x^2+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2x \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} -2=z^2-2

L'équation devient : z^2+z-3=0

D'où z_1=\dfrac{-1 -\sqrt{13}}{2} et z_2=\dfrac{-1 +\sqrt{13}}{2}

Or x^2-zx+1=0

\delta= z^2-4

Je bloque à ce stade.

Posté par
Priamre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 11:06

Dans l'équation donnée, c'est  - 4  et non  - 1  . . .

Posté par
Ramanujanre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 11:16

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 11:35

Bonjour Priam,
Une seconde équation a été introduite.
@Ramanujan,
Les solutions ne sont pas simples.
Il faut poursuivre

Posté par
mousse42re : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 11:36

Bonjour à tous

luzak @ 03-04-2020 à 08:21

Bonjour mousse42 !
Ton choix de la constante 4 est malheureux à cause de la racine évidente.

Je propose l'équation x^2+\dfrac1{x^2}+x+\dfrac1x-1=0


Oui tu as raison, j'en propose une autre plus douce :

x^2+\dfrac1{x^2}+x+\dfrac1x-18=0


Merci Sylvieg,  vous pouvez intervenir comme bon vous semble.!!

Autre chose, je n'ai pas reçu d'alerte par mail pour certaines interventions sur ce post.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 11:51

Oui, très bien avec 18

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Posté par malou Webmasterre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 12:01

mousse42, tu as pu en recevoir une après ton intervention du 2/4 mais ensuite il est normal qu'il n'y en ait plus d'autre car tu n'étais pas intervenu
ou bien comme le préconise Sylvieg, un "tuyau" bouché....comme il y a quelques jours, mais c'est quand même assez rare

Posté par
mousse42re : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 12:12

ok, merci malou et Sylvieg, j'ai décoché et recoché puis enregistré de nouveau les paramétrages dans "préférences".

Posté par
luzakre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 12:36

Ramanujan @ 03-04-2020 à 10:47



Or x^2-zx+1=0

\delta= z^2-4

Je bloque à ce stade.

Comme z^2+z-3=0 on a z^2-4=-z-3-4=-z-7 qui est strictement négative.
Si on connait les nombres complexes on peut continuer.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 12:43

Une petite erreur de signe : z2 - 4 = -z + 3 - 4

Posté par
luzakre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 17:27

Merci Sylvieg et bonsoir !
Selon le choix z_1,z_2 on aura donc deux valeurs réelles de x, sinon deux valeurs complexes conjuguées.

Mais ce blocage sur le signe de \delta est quand même typiquement ramanujanique vu que les valeurs prises par z sont connues...

Posté par
Ramanujanre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 22:55

luzak @ 03-04-2020 à 12:36

Ramanujan @ 03-04-2020 à 10:47



Or x^2-zx+1=0

\delta= z^2-4

Je bloque à ce stade.

Comme z^2+z-3=0 on a z^2-4=-z-3-4=-z-7 qui est strictement négative.
Si on connait les nombres complexes on peut continuer.


En effet, je n'avais pas pensé à réutiliser cette égalité.

Posté par
luzakre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 03-04-20 à 23:27

Même sans y penser il n'est pas difficile d'étudier le signe de \delta (ne serait-ce qu'en utilisant une calculette) lors qu'on a écrit :

Citation :
z_1=\dfrac{-1 -\sqrt{13}}{2} et z_2=\dfrac{-1 +\sqrt{13}}{2}


Bref je ne te reproche pas le  "ne pas y avoir pensé" mais tu n'as aucune excuse pour dire "je bloque à ce stade"

Posté par
carpediemre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 04-04-20 à 09:47

ouais enfin ... quand on a la prétention d'être prof un minimum est de penser ... afin qu'il y ait au moins un cerveau dans la classe qui fonctionne quand même ...

je vois Ramanujan incapable de continuité car sans vision globale, sans capacité de retour en arrière ou même d'aller en avant pour avoir une vision globale d'un pb, sans capacité de faire des liens entre les différentes notions ...

on en peut guère faire de math sans ...

Posté par
Ramanujanre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 06-04-20 à 02:31

Carpediem je ne comprends jamais rien à vos explications alors à mon avis vos étudiants doivent pas comprendre grand chose.

C'est bien beau de me critiquer mais moi quand j'explique une chose c'est clair pour tout le monde. Je ne fais pas de raisonnement tordu.

Posté par malou Webmasterre : Exercice niveau 1er S pour ramanujan 06-04-20 à 08:58

Ramanujan @ 06-04-2020 à 02:31


C'est bien beau de me critiquer mais moi quand j'explique une chose c'est clair pour tout le monde. Je ne fais pas de raisonnement tordu.


Ramanujan, le 1er avril est passé....


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