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exercice olympiades de maths 2009
bonjour à tous,j'ai trouvé cet exercice qui a été donné lors des eliminatoires algeriennes des olympiades de maths et je le trouve trés difficile voici l'ennoncé du problème:
soit n un nombre naturel.demontrez qu'il n'existe pas de naturel k de sorte que:
3n*2+3n+7=k*3
j'ai pas arreté de chercher la solution mais je ne trouve pas.alors pourriez m'aidez s'il vous plait.merci.
PS:le sigle* designe "puissance"
Bonjour
en fait il suffit de regarder modulo 9 :
est congru à 0, -1 ou 1 modulo 9, tandis que
est congru à -2 ou 4 modulo 9. Ces deux quantités ne sont donc jamais congrues modulo 9, à fortiori elles ne sont pas égales.
bonjour,merci pour les reponces mais cet exercice a été donné à des éléves de premiere donc il existe une solution sans utiliser les congruences.pouvez vous trouver une solution de niveau "premiere" s'il vous plait.merci.
Bonjour
une possibilité : 3n²+3n+7 = 3(n²+n+2)+1 : il reste 1 si on divise par 3
si k = 3p, k^3 = 27p^3 =3(9p^3) : il ne reste rien si on divise par 3, ça ne peut pas être égal au premier membre
si k = 3p+2 : k^3 = 27p^3+54p²+36p+8 = 3(9p^3+18p²+12p+2) +2 : il reste 2 si on divise par 3, ça ne peut pas être égal au premier membre
reste k = 3p + 1 : k^3 = 27p^3 + 27p² + 9p + 1 = 3(9p^3+9p²+3p) + 1 : ça peut être égal, avec n²+n+2 = 9p^3+9p²+3p = 3(3p^3+3p²+3)
donc n²+n+2 doit être multiple de 3
tu recommences : si n = 3m, si n = 3m+1, si n = 3m+2, et tu vois que jamais n²+n+2 n'est multiple de 3
il y a aussi la possibilité de regarder les restes dans la division par 9 (ça revient à utiliser les congruences modulo 9, en fin de compte)
en effet, une bien belle solution accessible à un élève de première (on aurait juré ma prof de maths, c'est dire...)
)
je suis un algerien aussi. j'ai passe ce exam et j'ai pu passer au deusieme
tour .j'ai repond à ce exercice d'une autre maniere que ça: ( desole .je peut pas donner la reponse à tout le monde)
3n*2+3n+7=k*3
delta=9-12.(7-k*3)=9-84+12k*3=12k*3-75
donc:
n=(-3-12k*3+75)/6=12-2k*3 n=(-3+12k*3-75)/6 =-13+2k*3
1° 12-2k*3=n
2° -13+2k*3=n
2n=1 n=1/2
quel region vives toi!
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