Niveau terminale

exercice pas long trigonométrie

Posté par Ado (invité) 07-02-05 à 20:57

Ceci est une partie d'exercice, c'est la seule partie ou je bloque malgré son apparente facilité

Soit l'équation:
(racine de 6 + racine de 2)cos(x)+(racine de 6-racine de 2)sin(x)=2

Résoudre cette équation dans R et placer les points image des solutions sur un cercles trigonométrique

Merci d'avance bisous

Posté par re : exercice pas long trigonométrie 07-02-05 à 21:35

Il convient de remarquer que $(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2+(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2=16$ et que $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\cos(\frac{\pi}{12})$ et $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\sin(\frac{\pi}{12})$ .

Ton équation est donc équivalente à
$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\cos(x)+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\sin(x)=\frac{2}{4}$
$\Rightarrow\cos(\frac{\pi}{12})\cos(x)+\sin(\frac{\pi}{12})\sin(x)=\frac{1}{2}$

Puis j'utilise $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)$ pour simplifier l'écriture et je te laisse finir.

Isis

Posté par re 07-02-05 à 22:21

Bonsoir.
Bravo pour isisstruiss.  Mais si on ne connaît pas la valeur de $cos(\frac{\pi}{12})$ , alors on est mal.
Une autre piste consiste à utiliser l'équation $a.cosx+b.sinx=c$ avec $a\not{=}0$ .  Cela devient $cosx+\frac{b}{a}.sinx=\frac{c}{a}$ .  On pose $tg\phi=\frac{b}{a}$ , ce qui donne en développant la tangente : $cos\phi.cosx+sin\phi.sinx=\frac{c}{a}.cos\phi$ $cos(\phi-x)=\frac{c}{a}.cos\phi$ .  Cette dernière égalité n'est possible que si $-1\le\frac{c}{a}.cos\phi\le{1}$ .  Ceci est équivalent à considérer $\frac{c^2}{a^2}.cos^2\phi-1\le{0}$ .  Or, $tg^2\phi=\frac{b^2}{a^2}$ $1+tg^2\phi=\frac{b^2+a^2}{a^2}$ $\frac{1}{1+tg^2\phi}=cos^2\phi=\frac{a^2}{a^2+b^2}$ .  On remplace dans l'expression précédente et on a : $\frac{c^2}{a^2}.\frac{a^2}{a^2+b^2}-1\le{0}$ $\frac{c^2-(a^2+b^2)}{a^2+b^2}\le{0}$ $c^2\le{a^2+b^2}$ .
Ici, on a : $a=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ , $b=\sqrt{6}-\sqrt{2}$ et $c=2$ , donc $4\le(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2+(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2$ $4\le{16}$ est donc vérifiée.  Ainsi, $tg\phi=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ et comme pour isistruiss, il faut connaître ce que vaut $\phi$ (l'utilisation d'une calculette est utile).
Tu peux alors finir l'exercice.
Voilà pour ton information.

Posté par re : exercice pas long trigonométrie 08-02-05 à 07:32

Il n'y a pas besoin de connaître par coeur la valeur de $cos(\frac{\pi}{12})$ , d'ailleurs je ne la connais pas. À partir du moment où on a remarqué que $$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$^2+$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$^2=1$ ,
on sait que de ces deux termes l'un vaut $\cos(\phi)$ et l'autre $\sin(\phi)$ . L'angle $\phi$ est uniquement déterminé (à $2\pi$ près) et on peut le trouver sans trop de peine à l'aide d'une calculatrice ou d'une table des valeurs courrantes des angles.

Puis il faut faire attention en cherchant uniquement la tangente, car on n'obtient pas un angle uniquement déterminé dans l'intervalle $[-\pi,\pi]$ , mais dans $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ . Il faut prendre les résultats avec pincette car si l'angle $\phi$ vaut $\frac{\pi}{12}+\pi$ la tangente est la même que celle de $\frac{\pi}{12}$ et la méthode de ma_cor sans faire bien attention ne donne pas la bonne solution.

Isis

Posté par re 08-02-05 à 09:43

Bonjour.
Tu as raison isistruiss. L'avantage quand même de la tangente est de n'utiliser qu'une seule valeur de recherche. Je n'ai pas voulu donner trop de détails car le développement de la condition était déjà limite.
De toute manière, la méthode que je propose est valable quel que soit l'angle $\phi$ utilisé; la seule condition est $c^2\le{a^2+b^2}$ . Pour s'en convaincre, au lieu de l'angle $\phi$ , on peut prendre l'angle antisupplémentaire $180+\phi$ , ce qui donnera à partir de l'équation générale $a.cosx+b.sinx=c$ : $cosx+tg(180+\phi)sinx=\frac{c}{a}$ $cos(180+\phi)cosx+sin(180+\phi)sinx=\frac{c}{a}.cos(180+\phi)$ $cos(180+\phi-x)=\frac{c}{a}.cos(180+\phi)$ $cos(180+(\phi-x))=\frac{c}{a}.cos(180+\phi)$ $-cos(\phi-x)=-\frac{c}{a}.cos\phi$ $cos(\phi-x)=\frac{c}{a}.cos\phi$ car les cosinus d'angles antisupplémentaires sont opposés. Voilà.

Posté par re : exercice pas long trigonométrie 08-02-05 à 10:26

En fait ta méthode est exactement la même que la mienne mais écrit autrement. La condition $c^2\le{a^2+b^2}$ se retrouve aussi chez moi car j'écris $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos(x)+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(x)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et ceci a un sens si $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\le1$ . D'ailleurs si cette condition n'est pas remplie c'est que l'équation de départ n'admet pas de solution.

La seule différence entre nos résolutions est que je détermine l'angle d'après le sinus et le cosinus et que toi le détermines par rapport à la tangente.

Isis

Posté par re : exercice pas long trigonométrie 08-02-05 à 10:31

Petite rectification "ceci a un sens si $\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\le1$ "

Et pour le message d'avant les intervalles doivent logiquement être ouverts d'un côté et fermés de l'autre.

Comme ça j'ai corrigé mes petites erreurs de distraction.

Isis

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