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Exercice Ramanujan Terminal S

Posté par
mousse42
04-04-20 à 02:40

Salut Ramanujan


Exercice

Soit un repère orthonormé \mathcal{R}=(O,\vec i,\vec j) et on considère la parabole \mathcal{P}  d'équation y=x^2

Quelle est la distance minimale entre \mathcal{P} et le point M ayant pour coordonnées (3, 0)?

Posté par
Ramanujan
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 05:52

Salut.

Soit M(x,x^2) et A(3,0)

On a AM^2=(x-3)^2+x^4=x^4+x^2-6x+9

Posons f(x)=x^4+x^2-6x+9
On a f'(x)=4x^3+2x-6
f'(x)=0 si et seulement si x=1
Or f'(x)=(x-1) Q(x) avec Q un polynôme n'admettant pas de racine dans \R.
Ainsi f est décroissante sur ]-\infty,1] et croissante sur [1,+\infty[, le minimum étant atteint en x=1.

On en déduit AM^2=5

Enfin \boxed{AM=\sqrt{5}}

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 09:52

salut

l'affirmation sur Q est gratuite donc sans valeur ... (tout comme la ligne au-dessus) ...

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 10:24

oui, c'est bizarre, le point M a pour coordonnées (0,3) dans l'énoncé que j'ai donné.

Alors que toi,  tu as choisi M(x,x^2) et A(0,3), comme dans la correction avec les mêmes notations. Les deux exercices donnés sont tirés d'un ouvrage "Cours complet, exercices et problèmes corrigés pour réussir en prépa" de François Thirioux, aux éditions Ellipses

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 11:09


Peux-tu détailler cette ligne :

Ramanujan

AM^2=(x-3)^2+x^4=x^4+x^2-6x+9

Posté par
Ramanujan
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 11:17

Je n'ai pas lu de corrigé. Je l'ai fait seul.   J'ai mis 20 minutes.

Ta notation était mal venue je préfère noter M(x, y) un point du graphe.
C'est comme ça qu'on fait dans les démonstrations.

Voyons je dois détailler un calcul de distance niveau première ?

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 11:31

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 11:32

carpediem @ 04-04-2020 à 09:52

salut

l'affirmation sur Q est gratuite donc sans valeur ... (tout comme la ligne au-dessus) ...

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 11:37

Citation :
f'(x)=0 si et seulement si x=1
Or f'(x)=(x-1) Q(x) avec Q un polynôme n'admettant pas de racine dans \R.


Ca me paraît pas très logique cet enchainement...

Posté par
Alexique
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 12:02

Pour moi, il est déjà cramé puisque les deux lignes que vous soulevez sont cruciales dans l'étude de la fonction f. J'en déduis qu'il ne sait pas étudier une fonction comme un élève de première et qu'il procède encore par mimétisme avec l'exo en question. Bref, il ne fait pas lui-même les raisonnements...

En fait, si je t'avais en face, je pense que je prendrai tous tes bouquins pour les cramer, puis cours magistral et séances d'exos enfermé non STOP depuis la 2nd sans internet et sans bouquin, bref avec une seule ressource qui serait ta tête... enfin je sais pas si j'en aurais le courage

Posté par
Ramanujan
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 12:02

Oui très mal rédigé en effet.

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 12:27

oui, mais un éléve qui lit ta correction ne peut pas comprendre. Ton statut de professeur le fera douter et pensera  peu être à tort le problème vient de lui.

Posté par
Ramanujan
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 17:32

AU brouillon j'ai calculé le discriminant qui était négatif donc pas de racines réelles.

Là j'ai été plus vite, mais face à une classe j'aurais pas rédigé ainsi. J'ai été trop vite.

Alexique sûrement. Je vais essayer de réfléchir un peu aux démonstrations des prochains chapitres, là je suis sur familles libres et parties libres, c'est pas trop dur.

Posté par
Alexique
re : Exercice Ramanujan Terminal S 04-04-20 à 20:38

Citation :
Là j'ai été plus vite, mais face à une classe j'aurais pas rédigé ainsi. J'ai été trop vite.

Mauvaise foi habituelle et pas recevable comme argument puisqu'alors,
1) nous aussi, on va rédiger nos aides comme des sacs et alors tu vas dire "chinois" et t'auras raison
2) on peut pas vérifier si tu comprends tout de à A à Z si tu rédiges de A à C (D allez)
3) c'est pédant et prétentieux de sous-entendre "trivial donc je fais pas". Tu n'es pas dieu et vu ce que tu prouves au quotidien, scinder sur R un polynôme de degré 3 et trouver son signe, c'est pas dur mais on peut pas t'en faire cadeau.

Donc moi je dis :
Citation :
f'(x)=0 si et seulement si x=1

Erreur de logique, pas d'équivalence car un seul sens est démontré (et encore vu que tu ne calcules pas proprement f'(1), pour moi y'a rien de démontré)
Citation :
f'(x)=(x-1) Q(x) avec Q un polynôme n'admettant pas de racine dans \R et j'ai vérifié que le discriminant était négatif

Négatif, ça suffit pas. Revois ton cours de 2nd degré (ou alors tu n'es pas rigoureux dans ta rédaction). Q non explicité, ni son discriminant.
Citation :
Ainsi f est décroissante sur ]-\infty,1] et croissante sur [1,+\infty[

Aucun mot sur le signe de Q donc sur le signe de f' (à un élève de 1ère, on demanderait un tableau de signes certainement).

Je fais pas partie de jury de CAPES et je crois savoir qu'ils sont horrifiés par bien pire, mais là pour moi, il y a pas ce qu'il faut pour dire "vous feriez un prof de lycée acceptable" et pas le minimum vital pour entamer des études supérieures en maths. Et le souci, c'est qu'on juge ce que tu écris et pas ce qu'il y a dans ta tête et c'est pareil pour tout le monde sans discrimination. Donc si après coup, tu dis "nan mais, si je savais et je sais faire mais flemme, je vaux mieux que ça et suis appelé un destin supérieur suprême qui est l'agreg interne", tu vas te faire découper (ou bien les faire marrer un bon coup). En tout cas, à l'oral tu peux rebondir, te rattraper selon les suggestions du jury, mais à l'écrit, c'est définitif.

@mousse42 : on peut avoir un scan de la correction du bouquin stp ?

Posté par
Ramanujan
re : Exercice Ramanujan Terminal S 05-04-20 à 01:41

Ok merci. Mais l'agrégation interne je la vise dans 3 ans, le temps pour moi de progresser, Je suis pas fou à ce point. Je compte bien progresser d'ici là pour pas me faire découper à l'oral comme vous dites.
Je corrige donc ma rédaction.

Résolvons :
4x^3+2x-6=0  
1 est racine évidente car 4+2-6=0, on peut donc factoriser le polynôme 4x^3+2x-6 de coefficient dominant 4 qui sous la forme (x-1)(4x^2+ax+b). Déterminons les constantes a,b.

(x-1)(4x^2+ax+b)=4x^3+ax^2+bx-4x^2-ax-b=4x^3+(a-4)x^2+(b-a)x-b. Par unicité des coefficients d'un polynôme, on trouve a=4 puis b-a=2 \implies b=2+a=2+4=6

Ainsi 4x^3+2x-6=(x-1)(4x^2+4x+6)

Résolvons : 4x^2+4x+6=0 \Leftrightarrow 2x^2+2x+3=0

Le discriminant vaut \Delta=2^2-4\times 2 \times 3=4-24=-20<0

L'équation n'admet pas de racine dans \R. Ainsi l'unique solution de l'équation
4x^3+2x-6=0   est x=1.

Ce qui nous assure que 4x^3+2x-6 \geq 0 si et seulement si x-1 \geq 0 c'est-à-dire x \geq 1

Posté par
littleguy
re : Exercice Ramanujan Terminal S 05-04-20 à 08:52

Bonjour,

Pas lu dans le détail mais moi si on me demande de résoudre 4x3+2x-6=0, je commence par simplifier par 2.

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan Terminal S 05-04-20 à 09:03

si tu sors le 4 de ta poche comme ça pourquoi ne sors-tu pas le 6 aussi de ta poche comme ça ? (les coefficients extrêmes sont obtenus à partir des "produits extrêmes"

même si "tu en sais un peu plus" enseigner c"est suivre le programme et se mettre au niveau des élèves en faisant résoudre proprement un système avec trois inconnues

quant à 4x^2 + 4x + 6 on peut calculer le discriminant "tel un bourrin" et le proposer aux élèves en difficulté (situation de confort) mais vu la réforme des programmes qui pousse au calcul mental et à la mémorisation on peut proposer pour les plus fort cela (qui est de niveau collège) :

4x^2 + 4x + 6 = 4x^2 + 4x + 1 + 5 = (2x + 1)^2 + 5 qui est donc strictement positif car supérieur à 5

puisque tu enseignes en physique et que tu veux enseigner en math je t'invite à tes heures perdues de demander aux collègues de math si tu peux assister à leur cours ... tu en apprendras surement plus ...

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan Terminal S 05-04-20 à 09:14

Salut Ramanujan

Je comprends pourquoi tu n'as pas développé ton argumentation, car elle prend trois pages.

Puisque 1 est une racine évidente il existe Q:x\to Q(x) tel que f'(x)=(x-1)Q(x), après une division euclidienne on trouve Q(x)=4x^2+4x+6=(2x+1)^2+5>0, donc Q n'a pas de racines réelles.


Bonjour Alexique, pour le scan :

Exercice Ramanujan Terminal S

Posté par
mousse42
re : Exercice Ramanujan Terminal S 05-04-20 à 09:18

carpediem, je n'avais pas vu ton post

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Ramanujan Terminal S 05-04-20 à 09:25

morale de l'histoire : il est prêt à écrire des bouquins !

Posté par
Ramanujan
re : Exercice Ramanujan Terminal S 05-04-20 à 09:57

Maou est-ce une blague ?

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Ramanujan Terminal S 05-04-20 à 10:11

ah non, je n'oserais pas....

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan Terminal S 05-04-20 à 10:16

Posté par
Alexique
re : Exercice Ramanujan Terminal S 05-04-20 à 13:36

Citation :
L'équation n'admet pas de racine dans \R. Ainsi l'unique solution de l'équation
4x^3+2x-6=0   est x=1.

Ce qui nous assure que 4x^3+2x-6 \geq 0 si et seulement si x-1 \geq 0 c'est-à-dire x \geq 1

Insuffisant encore une fois, rien sur le signe de Q ! Tu fais comme si tout polynôme sans racine réelle était strictement positif mais -X²-1 n'a pas de racines réelles et n'est pas strictement positif.  Donc une image particulière, ou le coefficient dominant ou une limite...

Posté par
Ramanujan
re : Exercice Ramanujan Terminal S 06-04-20 à 01:28

Oui vous avez raison.

4x^2+4x+6=0 a un discriminant strictement négatif.  De plus 4>0 donc la parabole x \mapsto 4x^2+4x+6 est au dessus de l'axe des abscisses donc \forall x \in \R \ 4x^2+4x+6 >0

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Ramanujan Terminal S 06-04-20 à 08:59

ce que tu écris là n'est pas une parabole...

Posté par
Ramanujan
re : Exercice Ramanujan Terminal S 07-04-20 à 01:22

Je l'ai tracée c'est bien une parabole

Posté par
carpediem
re : Exercice Ramanujan Terminal S 07-04-20 à 08:27

Ramanujan @ 06-04-2020 à 01:28


4x^2+4x+6=0 a un discriminant strictement négatif.  De plus 4>0 donc la parabole représentant la fonction x \mapsto 4x^2+4x+6 est au dessus de l'axe des abscisses donc \forall x \in \R \ 4x^2+4x+6 >0
une fonction a une courbe représentative mais n'est pas une courbe !!!

comme je le dis souvent à mes élèves : tu as un bras mais tu n'est pas un bras .... éventuellement tu es un bras cassé ... mais ça on le savait déjà ...

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice Ramanujan Terminal S 07-04-20 à 09:23

Ramanujan @ 07-04-2020 à 01:22

Je l'ai tracée c'est bien une parabole


on te met le doigt dessus et même ainsi tu ne vois pas ce qu'on veut dire...c'est dingue ça ....

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