Bonjour Eurotruck,

Ca fait toujouts plaisir de resoudre tes exercices, d'autant plus que certains demandent beaucoup de reflexion ...

Voici ce que je propose comme demonstration pour le calcul de cette limite (ce n'est peut-etre pas la methode la plus ''elegante'', mais l'important c'est qu'elle mene a la solution)

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Resultat:

lim de Un en +inf =0

Demonstration:

Mon but est de demontrer que:
Pour tout entier naturel n 4 (tu verras dans mon raissonnement pourquoi j'ai choisi 4, d'ailleurs cela n'influence pas sur la limite puisqu'on travaille sur une limite en + ):


. Pour tout n , n^30 et 3^n>0 donc
. Pour tout n -{0},

Dans cet ensemble, 3^n>0 et n>0 donc >0

Etudions le signe de n^3 - 3^n, c'est pour cela nous allons etudier les variation de:
(le but ici est de demontrer que n^3-3^n est negative pour n4 ...)

Soit f(x)=x^3 - 3^x
f'(x)= 3x^2 -3x^(x-1)
f'(x)=3x*[x - 3^(x-2)]

Aussi, pour facilier cette etude, on suppose que f est definie sur [4;+[ et notons I cet interval...
Pour x I, 3x>0

Il reste a etudier le signe de x-3^(x-2)
Soit g(x)=x-3^(x-2) definie sur I
g'(x)=1-3(x-2)^(x-3)

x4
x-22 et x-31
donc (x-2)^(x-3)2>1
et 1-3(x-2)^(x-3) <0, donc g'(x)<0 et g est strictement decroissant sur I.
g(4)=-2
Puisque g est strictement decroissante et continue sur I, donc g(4) est le maximum, et pour tout x I, g(x)-2<0

Or f'(x)=3x*[x-3^(x-2)]=3x*g(x)
Pour x I, f'(x) <0 et f'(x) est decroissante
f(4)=-17
De facon analogue a precedemment, on demontre que pour x I, f(x)=x^3 - 3^x <0 car f(4) est le maximum dans I

Par suite, on en deduit que n^3-3^n est negative pour n entier 4, et que:


Par suite pour n 4

Donc pour tout n entier 4:


Alors:

  (0+ plus precisemment)

donc lim Un en +inf =0

Sauf distraction

toujours*

Bonjour Eurotruck.

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log(n)/n tend vers zéro.
log(n³) = 3*log(n)
log(3ⁿ) = n*log(3)
3*log(n) / n*log(3) = 3/log(3) * log(n)/n et tend vers zéro.
n*log(3) tendant vers l'infini, 3*log(n) - n*log(3) tend vers moins l'infini.
10^{3*log(n) - n*log(3)} = n³/3ⁿ tend vers zéro.

Bonjour à tous

Jun_Milan> Attention, une fonction du type () (mais on sort du programme de première) est dérivable sur de dérivée ... .

plumemeteore> En France, les logarithmes ne sont pas au programme de première.

C'est plus facile à faire avec le programme de terminale qu'avec le programme de première car en utilisant le logarithme népérien, c'est immédiat et on a pas non plus le droit d'utiliser la récurrence.
Enfin cela permet tout de même de réfléchir un peu :

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Désolé de ne rien avoir posté, je vous envoie le message dans 5 minutes, c'est une erreure de manip

C'est plus facile à faire avec le programme de terminale qu'avec le programme de première car en utilisant le logarithme népérien, c'est immédiat et on a pas non plus le droit d'utiliser la récurrence.
Enfin cela permet tout de même de réfléchir un peu :

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Soit (U_n)_n la suite définie par U_n=n³/3ⁿ

Il est facile de montrer que U₀=0 et U_n>0 pour tout n*

Soit (V_n)_n* la suite définie par V_n=U_n+1/U_n
Donc pour tout n*, on a :
V_n=U_n+1/U_n=(n+1)³/3n³

Il est facile de montrer que V_n est strictement décroissante sur *
Or V₃=64/81
Donc pour tout n3, V_nV₃=64/81

Ensuite, on peut montrer que le produit des Vi de 3 à n pour tout n3 vaut (U₄/U₃)(U₅/U₄)(U_n/U_n-1)(U_n+1/U_n)=(U_n+1/U₃)

On peut aussi montrer que le produit des Vi de 3 à n pour tout n3 est V₃^n-2

On en vient donc à (U_n+1/U₃)V₃^n-2

En utilisant le théorème des gendarmes il est facile de conclure.


Je n'ai donner que les grandes lignes, à vous de rédiger la démonstration si vous le sohaitez, je suis désolé de ne pas l'avoir fait moi-même mais cela prend trop de temps et c'est plus facile à faire sur du papier qu'ici

Salut à tous ,

Je donnerai plus tard une solution première.

n,
Pour n3 , : donc donc
On a donc  

Soit soit

On remarque que
donc .
Or chacun des quotients est positif et inférieurs à 0,8
on a .

car -1<0,8<1 donc
Sauf erreur

Salut,

Mais ta dernière Eurotruck n'utiliserai pas un argument de terminal?

Ce serait bien de préciser que tu as recopier les idées que j'ai marqué dans mon dernier post.

Ensuite une petite remarque, toi comme moi utilisons la récurrence à une étape de la démonstration. En tout cas pour être rigoureux la démonstration s'effectue par récurrence. Je parle bien sur de "Ensuite, on peut montrer que le produit des Vi de 3 à n pour tout n3 vaut (U4/U3)(U5/U4)(Un/Un-1)(Un+1/Un)=(Un+1/U3)", tu as utilisé un procédé similaire. Mais comment démontres tu cette formule sans utiliser la récurrence. Elle est juste intuitivement mais l'intuition fait preuve de manque de rigueur. Par conséquent on a besoin d'outils de terminale pour faire cette démo

Une dernière remarque, si tu as utilisé les idées que j'ai posté plus haut, soit un peu plus précis alors dans ta démonstration. N'oublies pas de dire que le théorème que tu utilises dans la dernière partie de la démonstration est le théorème des gendarmes

Merci

Je m'en excuse blang. Pour répondre à ce que tu viens de dire,

"Ensuite sur le fond, je ne trouve pas du tout qu'Eurotruck ait recopié quoi que ce soit, ni qu'il ait fait preuve de plus d'imprécision que toi"
-->Je n'ai jamais dit le contraire. Je trouve juste que la récurrence est nécessaire pour la démonstration.

"Sa démonstration de la décroissance de  est très claire alors que la tienne est absente (tu te contentes d'un : "il est facile de montrer que...")."
-->Normal elle est évidente et je n'avais pas l'intention de faire une démonstration complète. La rédaction sur ce site est difficile d'accès. J'avais juste l'intnention de soulever les points importants de la démonstration.

"Ensuite sur le fond, je ne trouve pas du tout qu'Eurotruck ait recopié quoi que ce soit"
-->Dans ce cas explique moi en quoi la démonstration est différente mise à part le style.


Ensuite il est vrai que ma démonstration n'est pas lisible. Il aurait été préférable que je la scanne donc merci quand même à Eurotruck d'avoir repris les points essentiels pour une meilleure compréhension

Bonne journée

hhh86 : Cette embrouille pour rien car je n'avais même pas regardé ta réponse .

Je suis totalement désolé, je suis un peu sur les nerfs en ce moment