Dans le blanké précédent, j'ai utilisé les termes croissantes et décroissantes ... Dans tous les cas, je voulais dire strictement croissante, et strictement décroissante !

J'ai pas lu, en tout cas ce qui est sur c'est que tu fais au moins 3 fois trop long et puis je trouve pas ca très bien rédigé. A quoi sert de calculer u3,u4,u5 et pourquoi pas u6, u7???


U(n) = 2^n - n!.
U(n+1) -U(n) = 2^n - n* n!.
vn = 2^n / (n*n!) . Montrons que vn<=1 pour n>=2
v2 = 4/4=1.
vn+1 / vn = 2 * n / (n+1)^2. <=1
Donc vn décroit. vn<=1 pour n>=2.

Donc U(n) décroit pour n>=2. On conclut en regardant les cas n=0,n=1,n=2.

PS : Si on utilise les symboles ! et ^, c'est pas pour rien... Utilises les !

Re,

Par tout respect:

la fonction est strictement* decroissante

Ah oui d'accord, je pensais pas que t'étais en 1ere.

Bon bah c'est bien pour un 1ere, de bonnes initiatives et une bonne vision des choses.

Et c'est juste.

Merci Dryss

Sinon, je vois bien que votre méthode est très courte par rapport á la mienne, je pense donc que ! et ^ seront d'une grande utilité

Dans un programme francais, on apprendra ces notions en terminal ? (ou plus tard
?)

Merci

Je sais plus quand est ce qu'on parle des factorielles.
C'est rien de spécial hein.

C'est surtout de nouvelles idées qui apparaissent.
Tu cherches le signe de 2^n - n!.
C'est assez embêtant la soustraction dans ce cas.
Il est donc plus intéressant de comparer 2^n / n! à 1 : on a une division ce qui est plus adapté à la multiplication.

Bonjour.
La différence entre 2^(n+1) et 2^n est 2^n.
La différence entre (n+1)! et n! est n*n!
Supposons que pour un n donné, U(n+1) < Un.
2^n < n*n!
Pour le passage de U(n+1) à U(n+2), on augmente de 2^(n+1) - (n+1)*(n+1)!.
2^(n+1) = 2*2^n < 2n*n! = [2n/(n+1)]*(n+1)! = [2-(2/(n+1))]*(n+1)! < (n+1)*(n+1)!
en effet pour tout n égal ou supérieur à 1 : 2-(2/(n+1)) < 2 n+1
Donc si la suite décroît à une étape, elle décroit lors de toutes les étapes suivantes.
On observe U(2) > U(1); U(3) = U(2); U(4) < U(3) : la suite décroît à partir de U(4).

Bonsoir Jun,

Oui la factorielle c'est au programme de terminale, ce sera pour pouvoir faire les coefficients binomiaux (puis le binôme de Newton et tout et tout).
Cependant les ^ sont quand même au programme de 1ère, il est donc conseillé des t'y habituer au plus tôt, tu peux marquer (2*2*..*2) sur ton brouillon si ça peut t'aider mais entraine toi à rédiger avec, même si ça parait moins simple au début.

Encore un petit détail : je pense que u0=0 et non 1. Ça peut te paraitre absurde mais factorielle 0 vaut 1. Tu as marqué (1*2*..*n) et tu as décidé que lorsque n=0 cela vaut 0. C'est une erreur que l'on fait tous, mais pourtant cela fait 1. (C'est une histoire d'élément neutre de la multiplication, tu verras ça plus tard, en terminale on te dira (0)!=1 par convention, c'est un peu plus mathématique qu'une convention mais on peut le voir comme ça).
  Voila pourquoi ta formule au rang n te donnait bien u(1)-u(0)=1

Bonjour.
Il semble que a^n passe au-dessous de n! quand n est proche de a*exp(1) et en est d'autant plus proche que a est grand.