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exercice suite et factorielle

Posté par
PouletSauvage
05-12-17 à 12:04

Bonjour, je prépare un concours pour la fonction publique et j'ai besoin d'aide

On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n

Il est rappelé que n ! = nx(n−1)x(n−2)x...x1

U_{n}= \frac{2^{n}}{n !} et v_{n} = \frac{u_{n+1}}{u_{n}}


1) Exprimer vn en fonction de n, puis montrer que la suite (vn) est décroissante.

2) En déduire que, pour tout n ≥ 3 , on a u_{n+1}\leq \frac{1}{2} u_{n}

3) Montrer par récurrence pour n≥3 que u_{n} \leq u_{3}\frac{1}{2}^{n-3}

4) En déduire la limite de (un) quand n tend vers l'infini.

5) On pose pour tout entier naturel n : Sn =u0 + u1 + u2 + ... + un
Montrer que Sn est majorée par u0 + u1 + u2 + 2u3
En déduire un encadrement de Sn.

Ma réponse:
1) On a (n+1)! = (n+1)xn!
On remplace un et un+1 par leurs valeurs pour trouver vn
vn = 2 / (n+1)
On calcule vn+1-vn
On trouve -2 / (n+2)(n+1)
Le signe de  vn+1-vn est négatif donc la suite vn est décroissante.

2) Je n'y arrive pas et pourtant j'ai essayé...

Posté par
mathafou
re : exercice suite et factorielle 05-12-17 à 12:42

Bonjour,

2) pour n veut dire que Vn 2/(3+1) etc.

Posté par
mathafou
re : exercice suite et factorielle 05-12-17 à 12:43

* pour n 3 etc  (le 3 a sauté)

Posté par
PouletSauvage
re : exercice suite et factorielle 05-12-17 à 15:01

Super ! Merci j'ai réussi la 2) grâce à vous.
Sinon j'ai réussi la 4) mais la 3) et la 5) me pose problème...
Est-ce que vous pouvez m'aider ?

Posté par
PouletSauvage
re : exercice suite et factorielle 05-12-17 à 15:03

*me posent

Posté par
mathafou
re : exercice suite et factorielle 05-12-17 à 15:16

3) "en déduire" veut dire qu'il faut utiliser la question 2 !

Un < 1/2 Un-1 < 1/2 (1/2 Un-2) < ....

la 5)
c'est majorer cette somme en remplaçant tous les Uk qu'elle contient à partir de k=3 par leur majoration de la question 3
on fait alors apparaitre pour ce morceau là de cette somme une somme de termes d'une suite géométrique, dont on connait l'expression de la somme en fonction de n
que l'on majore à son tour en faisant tendre n vers l'infini

Posté par
PouletSauvage
re : exercice suite et factorielle 06-12-17 à 10:33

Vous avez mal lu la question 3) et c'est peut être pour ça que je n'arrive toujours pas

Posté par
mathafou
re : exercice suite et factorielle 06-12-17 à 12:07

je pense que c'est toi qui a mal lu ce que j'ai écrit.

Posté par
PouletSauvage
re : exercice suite et factorielle 07-12-17 à 10:12

La question : 3) Montrer par récurrence...

Votre réponse : 3) "en déduire" veut dire

Mon constat : il n'y a pas "en déduire" dans la question 3


Bref sinon j'ai tout réussi, je suis vraiment content.
En fait, il faut oser en maths. Et surtout, il faut réutiliser les réponses des questions précédentes, comme vous me l'aviez dit.

J'ai la flemme de mettre ma réponse, j'aurai bien aimé la scanner et la mettre comme image, mais ilemaths n'aime pas qu'on fasse ça.

Merci pour tout.

Posté par
mathafou
re : exercice suite et factorielle 07-12-17 à 10:43

oui effectivement.

mais la récurrence est exactement la signification "formelle" des "..." dans ce que j'ai dit.
et on utilise bien le résultat de la question d'avant pour faire ça
qu'on l'écrive sous forme de "etc" ou de récurrence rédigée formellement .

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