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Niveau autre
Exercice sur la loi uniforme
Posté par boisdevincennes
Merci de Votre aide. J'ai deja posté cet exercice mais dans la mauvaise section, je crains que cet exercice est beaucoup plus dur que du programme de terminal. Je n'ai pas de prof pour me corriger, je compte sur vous pour me dire si ma méthode est bonne.
Soit T une variable aléatoire prenant les valeurs 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 selon la loi
uniforme.
1 Déterminer la loi de la variable aléatoire X définie par
X=Exp(1/12 * ln(1+T/100))
Calculer espérance et variance de X
2 Soit X1 et X2 2 var aléatoires indépendantes de même loi que X
Exprimer X1X2 puis déterminer l'espérance et la variance de X1X2.
1
P(T=k)=1/10 selon la loi uniforme pour kE [1 10]
X=Exp(1/12 * ln(1+T/100))=(1+T/100)^1/12
jusque la je pense que c'est juste.
P(X=(1+T/100)^1/12)=1/10 ?
E(X)=SOMME Xi Pi= Somme 1/10 *(1+T/100)^1/12) ?
=1/10 Somme *(1+T/100)^1/12) de T= 1 à 10
apres je ne sais pas calculer la variance
2
X1X2=(1+T/100)^2/12?
Bonsoir.
Ta formule pour le calcul de l'espérance de X est juste.
Je ne vois aucun moyen pour simplifier cette somme de façon exacte. Il faut calculer une valeur approchée. De tête le résultat est voisin de 1,005. En faisant un calcul plus précis on trouve environ 1,00444
Pour la variance de X on calcule l'espérance des carrés :
somme xi2 pi=(1/10)*((1+1/100)1/6+...+(1+10/100)1/6)
et on enlève au résultat le carré de l'espérance.
Je trouve environ 5,2*10-6
Donner la loi exacte de X1X2 est long et fastidieux : les valeurs possible sont les produits (1+a/100)1/12(1+b/100)1/12 où a et b prennent toutes les valeurs entières de 1 à 10 ce qui fait 100 cas. Mais bien sur certain donnent le même résultat.
Pour l'espérance du produit il y a un théorème qui dit que l'espérance du produit de 2 variables aléatoires indépendantes est égale au produit des espérances.
merci de votre réponse. C'est la premiere fois que j'obtiens une réponse sérieuse pour ce probleme. J'ai posté deja ce probleme sur un autre forum ou j'ai eu affaire avec un spécialiste pédant qui ne m'a pas permis d'avancer.
peut on dire X1X2=X²?
et donc:
E(X1X2)=E(X1)E(X2)=(E(X1))²=(E(X))²
V(X1X2)=V(X1)V(X2)+V(X1)(E(X2))²+V(X2)(E(X1))²
=(V(X))²+2V(X)((E(X))²
non on ne peut pas dire que X1X2=X²
par exemple si X (
)={1,2}
* les valeurs prises par Y=X² sont 1 et 4 Y()={1,4}
**les valeurs prises par Z=X1X2 sont1,2,4 Z()={1,2,4}
même si Y()=Z() Y et Z n'ont pas en général la même loi
par exemple si X est un aléa de Bernoulli de paramètre p
X()={0,1}
Y()={0,1) Y est un aléa de bernoulli de paramètre p
Z()=(0,1) mais p(Z=1)=p((X1=1)
(X2=1))=p² (indépendance de X1et X2)
Z et Y n'ont pas la même loi
pour la variance de X1X2 je ne sais pas la formule par coeur mais j'ai trouvé cela
On a X1X2
X2. Cf les exemples de velda.
Mais ta formule pour le calcul de V(X1X2) est exacte. Elle n'utilise que le fait que X1 et X2 sont indépendantes et de même loi.
À titre indicatif, cette formule n'est pas valable pour calculer la variance de X2.
verdurin vous dites que la formule de la variance est bonne
V(X1X2)=V(X1)V(X2)+V(X1)(E(X2))²+V(X2)(E(X1))²
mais la suite est bien fausse puisque X1X2X²
et donc (V(X))²+2V(X)((E(X))² est faux
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