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Exercice sur les récurrences avec Phi

Posté par
Mathieuuuuuuu 07-10-20 à 10:57

Bonjour, je suis en classe de terminale et j'ai un problème un exercice sur le nombre d'or.
Voici la première question:

Soit a et b deux réels tels que a>b>0. Prouver que si x vérifie les égalités  x=a+b/a = a/b alors x est solution de l'equation x2 - x - 1=0

Merci de votre réponse ^^

Posté par
Mathieuuuuuuure : Exercice sur les récurrences avec Phi 07-10-20 à 11:04

J'ai essayé de faire un produit de deux égalités et un développement de l'expression mais ça ne m'avance à rien

Posté par
mathafou Moderateurre : Exercice sur les récurrences avec Phi 07-10-20 à 11:16

Bonjour,

énoncé faux ici

tu as écrit \; x = a + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{b}

priorité des opérations : la division est plus prioritaire que l'addition, on calcule b/a d'abord, puis on l'ajoute à a

pour changer cette priorité il faut ajouter des parenthèses obligatoires (correctement)

\dfrac{a+b}{a} \; s'écrit (a+b)/a parenthèses obligatoires (pareil sur une calculette ou dans n'importe quel logiciel)

qu'as tu essayé de faire ? (en détail)

Posté par
Mathieuuuuuuure : Exercice sur les récurrences avec Phi 07-10-20 à 11:22

Oui c'est vrai pardon, je vous join ce que j'ai essayer de faire

** image supprimée **
photos de textes et de calculs interdites
cela doit être recopié.

Posté par
Mathieuuuuuuure : Exercice sur les récurrences avec Phi 07-10-20 à 12:09

Voici ce que j'ai fais :
X = \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b} X = 1+\frac{b}{a}=\frac{a}{b} Vu que x^2-x-1=0 (b^2+a^2+1)^2 - (b^2+a^2+1) - 1=0 a^4 +b^4 +2(b^2*a^2)+b^2+a^2 +1 - b^2 - a^2 - 1 - 1 =0 a^4 +b^4 +2(b^2*a^2) - 1=0 (b^2+a^2)^2+2(b^2*a^2)-1=0
X = \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b} X = 1+\frac{b}{a}=\frac{a}{b} Vu que x^2-x-1=0 (b^2+a^2+1)^2 - (b^2+a^2+1) - 1=0 a^4 +b^4 +2(b^2*a^2)+b^2+a^2 +1 - b^2 - a^2 - 1 - 1 =0 a^4 +b^4 +2(b^2*a^2) - 1=0 (b^2+a^2)^2+2(b^2*a^2)-1=0
X = \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b} X = 1+\frac{b}{a}=\frac{a}{b} Vu que x^2-x-1=0 (b^2+a^2+1)^2 - (b^2+a^2+1) - 1=0 a^4 +b^4 +2(b^2*a^2)+b^2+a^2 +1 - b^2 - a^2 - 1 - 1 =0 a^4 +b^4 +2(b^2*a^2) - 1=0 (b^2+a^2)^2+2(b^2*a^2)-1=0
Et la je suis bloqué

Posté par
Mathieuuuuuuure : Exercice sur les récurrences avec Phi 07-10-20 à 12:10

#X = \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}
#X = 1+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}
#Vu que x^2-x-1=0
#(b^2+a^2+1)^2 - (b^2+a^2+1) - 1=0
#a^4 +b^4 +2(b^2*a^2)+b^2+a^2 +1 - b^2 - a^2 - 1 - 1 =0
#a^4 +b^4 +2(b^2*a^2) - 1=0
#(b^2+a^2)^2+2(b^2*a^2)-1=0

Posté par
Mathieuuuuuuure : Exercice sur les récurrences avec Phi 07-10-20 à 12:10

Désolé de la syntaxe j'ai dû mal avec l'outil^^

Posté par
mathafou Moderateurre : Exercice sur les récurrences avec Phi 07-10-20 à 12:26

faut se relire avec Aperçu avant de cliquet sur poster....

X = \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b} \\ X = 1+\frac{b}{a}=\frac{a}{b} oui
Vu que x^2-x-1=0
(b^2+a^2+1)^2 - (b^2+a^2+1) - 1=0 ?????
d'abord on ne sait pas que x^2-x-1=0 vu que c'est ce q'on cherche à démontrer
il n'est donc pas possible logiquement d'utiliser ce résultat avant de l'avoir obtenu !

par contre à partir de 1+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}
on remplace \frac{a}{b} par x écrit x partout là dedans
(plus aucun a ni b)
etc


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