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je propose le changement de variable sin(t)/2=1/2-x ce qui donne .

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je propose 1 IPP ce qui donne . tend à l'infini vers l'intégrale du 1).

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on a la relation et donc . A la limite on obtient . Cette suite converge ainsi vers 0. Il est peut-être plus rigoureux d'écrire 1/e sous la forme d'une somme et de montrer que le reste tend vers 0 ou encore de factoriser par et de montrer que tend vers 0.

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Pour le 1: il s'agit de l'aire d'un demi-disque

      
Pour le 2: On majore l'exponentielle par 1, ce qui permet de majorer u_n par 1/(n+1)!  Donc u_n tend vers 0.


Pour le 3: En intégrant par parties, on trouve que l'intégrale vaut 1-2*exp(-1).
Sn apparaît comme une somme de Riemann à pas constant égal à 1/n  sur l'intervalle [0,1] pour la fonction x*exp(-x). Elle converge donc vers l'intégrale précédente.

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Exercice 1 :

ce qui est l'équation du demi cercle supérieur de centre et de rayon .

L'aire de ce demi disque vaut .

Exercice 2 :

Pour : donc   or sur ce même intervalle donc .

On a donc l'encadrement  , donc .

Exercice 3 :

Une IPP donne .

C'est à nouveau une somme d'aire de rectangle, qui tend vers l'intégrale calculé précédement.

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Je vais pas refaire tout ce que les autres ont déjà (avec brio!)
Juste pour dire que pour l'exo 2 on pouvait tricher un peu et voir la différence entre une expo et la somme partielle de la série expo grâce à  Taylor reste intégral