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exercices sur les ensembles

Posté par
aya4545 28-07-22 à 14:12

bonjour
prière m aider a montrer l égalité de ces 2 ensembles

Soient E un ensemble, n un entier non nul, A_1, . . . , A_n et B_1, . . . , B_n des parties de E montrer que
\bigcup _{i=1} ^{i=n}(A_i  \cap  B_i)=\bigcap _{X \subset[|1 n|]}(\bigcup _{i\in X }A_i )\cup (\bigcup_{i \not \in X} B_i)

ce que j ai fait

soit  x \in \bigcup _{i=1} ^{i=n}(A_i  \cap  B_i) donc il existe i_1 \in [|1 n|]  /  x \in  (A_{i 1} \cap  B_{i1})  (x\in A_{i1}  et x\in B_{i1})
soit X \subset[|1 n|] on a i1 \in X   ou i1  \not \in X  
si  i1 \in X  \implies  x\in A_{i1} \subset \bigcup _{i \in X}A_{i}

Posté par
aya4545re : exercices sur les ensembles 28-07-22 à 14:25

si i_1 \not \in X  \implies   x\in B_{i1} \subset  \bigcup _{i\not\in X}B_i \implies  x \in  \bigcup _{i \in X} A_i \cup \bigcup _{i\not \in X} B_i \implies  x\in  \bigcap_ {X \subset [1 n]} \bigcup _{i \in X} A_i \cup \bigcup _{i\not \in X} B_i
je trouve des problemes dans l autre inclusion et merci

Posté par
Ulmierere : exercices sur les ensembles 28-07-22 à 21:32

C'est mal rédigé mais tu as compris pour le sens \subseteq.

Pour l'autre, tu peux faire une petite disjonction de cas.
- Si \bigcup_{i=1}^n A_i et \bigcup_{i=1}^n B_i sont deux ensembles disjoints alors ton membre de droite est forcément l'ensemble vide. C'est parce que les A_i et les B_i jouent des rôles symétriques. En prenant X = {1,...,n}, ça veut dire que ton intersection est incluse à la fois dans \bigcup_{i=1}^n A_i et dans \bigcup_{i=1}^n B_i. Contradiction, sauf si elle est vide...

- Dans le cas contraire, on est exactement en train de dire qu'il existe un i et un j tels que A_i\cap B_j soit non vide. Si i !=j, tu prends X = \{i\} et X = \{1,\cdots,n\}\setminus\{j\} et ça veut dire que ton membre de droite est
inclus à la fois dans A_i\cup B_j mais pas dans B_i
et aussi inclus dans B_j\cup A_i mais pas dans A_j

donc dans A_i\cup B_j mais pas dans A_j\cup B_i.
Pourtant i et j jouent des rôles symétriques, donc si tu prends X = {j} et X = {i}^c tu obtiendras le même résultat avec i et j inversés. Contradiction.

Ca veut dire que i = j et donc qu'il existe un i tel que A_i\cap B_i \neq \emptyset.

Reste à appliquer avec X = {i} pour en déduire que ton membre de droite est dans A_i\cap B_i, ce qu'il fallait démontrer.

C'est que des mots, mais pas bien difficile, essaie de bien comprendre

Posté par
aya4545re : exercices sur les ensembles 29-07-22 à 09:12

bonjour
merci Ulmiere
je n ai rien compris merci de m expliquer d avantage et merci

Posté par AitOuglifre : exercices sur les ensembles 29-07-22 à 19:35

Bonjour aya4545
En l'absence de Ulmiere, peux-tu me dire ce que tu ne comprends pas?

Posté par
breuilre : exercices sur les ensembles 31-07-22 à 10:08

Bonjour à tous
d'avance excusez moi si je me trompe, car je ne suis pas habitué à ce genre d'exercice. Mais j'ai l'impression que lénoncé est faux. Si vous
prenez les Ai égaux et les Bi disjoints de  Ai, il me semble que ça ne marche pas?????

Posté par
breuilre : exercices sur les ensembles 31-07-22 à 14:15

Ah oui, oubliez ce que j'ai dit.


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