Niveau exercices

Exo Découverte (terminale)

Posté par
matovitch 20-03-09 à 21:32

Bonjour à tous !
Et bien voilà, ce soir après 3 heures de cours de math, il me manquait quelques heures quotidiennes, je me suis donc posé la question suivante :

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ , soit $a,b \in I$ et $a<b$ .
Quelle est la longueur de $C_f$ courbe représentative de $f$ entre $a$ et $b$ ?

Je vous propose d'y répondre (comme je l'ai fait) sous forme d'exo :

1) En découpant la courbe en morceaux affines de projetés de longueur $\fr{b-a}{n}$ sur l'axe des abscisse (je posterai un dessin si j'ai le temps).
Exprimez la longueur de la courbe sous forme de somme.

2) Montrez que $\lim_{n\to+\infty}\Bigsum_{k=0}^{n-1} \sqrt{$f(a+(\fr{k+1}{n}))-f(a+(\fr{k}{n}))$^2+\fr{1}{n^2}}=\lim_{n\to+\infty} \fr{1}{n}\Bigsum_{k=0}^{n-1} \sqrt{$f^{'}(a+(\fr{k}{n}))$^2+1}$

3) En remarquant qu'il s'agit d'un calcul d'aire par la méthode des rectangles,
déduire l'expression la longueur de $f$ entre $a$ et $b$ sous forme d'intégrale.

Bon courage à tous et have fun !