Exo défi : 3 points complexes.

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Exo défi : 3 points complexes.
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Nightmare  06-08-07 à 16:43
Bonjour à tous 

Un petit défi pour les terminales.

Que peut-on dire deux trois points A, B et C d'affixes respectives a, b et c telles que :

A vous de jouer.

Jord
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monrow re : Exo défi : 3 points complexes.  06-08-07 à 18:32
Salut jord,

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j'arrive pas à grand chose, je bloque depuis le début ici: (a-b-c)²=ab+bc+ca

est-ce une bonne voie? 
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Nightmarere : Exo défi : 3 points complexes.  06-08-07 à 18:37
Salut monrow 

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Ton égalité est fausse !
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monrow re : Exo défi : 3 points complexes.  06-08-07 à 18:44
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ah oui! effectivement! j'ai fait une bêtise 

(a-b-c)²=-ab-ac-2bc=(ab+ac+2bc)

mais sans résultat 
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monrow re : Exo défi : 3 points complexes.  06-08-07 à 18:48
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(a-b-c)²=-ab-ac-2bc=-(ab+ac+2bc) bien entendu 
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Nightmarere : Exo défi : 3 points complexes.  06-08-07 à 19:18
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Oui mais je ne suis pas sûr que ça t'avance!
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Nightmarere : Exo défi : 3 points complexes.  06-08-07 à 20:45
Personne?? Essaye déjà de trouver un tel triplet de points et de voir ce que ça donne dans le plan !
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nomisre : Exo défi : 3 points complexes.  06-08-07 à 20:53
bonsoir

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je conjecture que les points sont alignés

pour cela on peut montrer que arg[(a-b)/(a-c)]=0

pour cela on montre que (a-b)/(a-c) est réel à l'aide de la formule de l'énoncé, j'y travaille...
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Nightmarere : Exo défi : 3 points complexes.  06-08-07 à 20:54
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Non c'est faux nomis
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Cauchyre : Exo défi : 3 points complexes.  07-08-07 à 03:15
Salut,

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on obtient un triangle équilatéral non?
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Nofutur2re : Exo défi : 3 points complexes.  07-08-07 à 09:06
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L'égalité est équivalente à:

vect(BA)*|OA|+ vect(CB)*|OB|+vect(AC)*|OC|=vect(0).

Comme vecteur (BA)+vect(CB)+vect(AC)=vect(0) (Chasles)

On en déduit facilement que |OA|=|OB|=|OC|

donc A, B et C cocycliques sur un cercle de centre O.

C'est çà??
 Posté par 
nomisre : Exo défi : 3 points complexes.  07-08-07 à 13:17
 Nofutur2 > >

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salut 

ton égalité n'est pas plutôt équivalente à :

|a|(a-b)+|b|(b-c)+|c|(c-a) = 0  ?
 Posté par 
Nightmarere : Exo défi : 3 points complexes.  07-08-07 à 14:05
Cauchy > 
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C'est juste  Une démonstration ? 

Nofutur2 >  Cliquez pour afficher
Qu'ils soient cocycliques bien sûr (3 points sont toujours cocycliques) mais de centre O non ! 
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Cauchyre : Exo défi : 3 points complexes.  07-08-07 à 16:02
Nightmare>
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Par translation et rotation on se ramène au cas où a=0 et b est réel positif ceci conduit à l'équation c²-bc+b²=0 avec b réel. 

Donc c est solution de l'équation z²-bz+b²=0 ce qui nous donne . Donc c est image de b par la rotation de centre 0(ici a) et d'angle , a,b et c forment donc un triangle équilatéral.
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Nofutur2re : Exo défi : 3 points complexes.  07-08-07 à 16:37
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Superbe, Cauchy !!
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monrow re : Exo défi : 3 points complexes.  07-08-07 à 17:54
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euuuuuh moi je vais le supposer équilatéral pour trouver la relation...

On suppose ABC triangle équilatéral

on a: 

C-à-d:  (module = module et argument=argument)

équivaut: (a-b)(a-c)=(b-c)(c-b)

équivaut: a²-ac-ab+bc=bc-b²-c²+bc

équivaut: a²+b²+c²-ab-bc-ac=0

équivaut: a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0

CQFD

 Posté par 
cailloux re : Exo défi : 3 points complexes.  07-08-07 à 22:45
Bonjour,

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Une CNS pour que les points A(a),B(b),C(c) 2 à 2 distincts forment un triangle équilatéral est que:  (triangle ABC équilatéral direct) ou que  (triangle ABC équilatéral indirect).

Or: 

  Posté par 
Cauchyre : Exo défi : 3 points complexes.  08-08-07 à 01:19
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Merci Nofutur