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Exo défi : Bijection et suite converge
Posté par kaiser 
re : Exo défi : Bijection et suite converge 01-07-07 à 17:07 Salut Nightmare
Cliquez pour afficherDéjà, s'il ne peut y avoir qu'une seule limite possible, alors la réponse ne peut-être que 1. Reste à le montrer.
Kaiser
Posté par Nightmarere : Exo défi : Bijection et suite converge 01-07-07 à 17:08 Salut Kaiser 
>
Cliquez pour afficher Oui, reste à le montrer comme tu dis
Sans indications je n'ai pas réussi.
Posté par elhor_abdelali 
re : Exo défi : Bijection et suite converge. 01-07-07 à 21:20 Bonjour Nightmare et kaiser ;
Cliquez pour afficher Soit
}{n}=L\in[0,+\infty[})
.
Montrons dans un premier temps que
.
Pour cela notons
\hspace{5}\hspace{5}S_k=\Bigsum_{p=1}^{k}\hspace{5}\Phi(p)})
et remarquons que
\hspace{5}\hspace{5}S_k\ge\frac{k(k+1)}{2}})
(ceci s'explique par le fait que les 
entiers naturels non nuls )
, )
, .. , )
étant deux à deux distincts
leur somme doit être supérieure ou égale à celle des plus petits entiers naturels non nuls distincts que sont 
, 
, .. , )
en convenant que
on peut alors écrire pour tout
:
}{k}=\Bigsum_{k=1}^{n}\hspace{5}\frac{S_k-S_{k-1}}{k}=\Bigsum_{k=1}^{n}\hspace{5}\frac{S_k}{k}-\Bigsum_{k=1}^{n}\hspace{5}\frac{S_{k-1}}{k}=\Bigsum_{k=1}^{n}\hspace{5}\frac{S_k}{k}-\Bigsum_{k=1}^{n-1}\hspace{5}\frac{S_k}{k+1}\\\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}=\frac{S_n}{n}+\Bigsum_{k=1}^{n-1}\hspace{5}S_k(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})\ge\hspace{5}\frac{n+1}{2}+\frac{n-1}{2}=n})
et ainsi on voit que
\\\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n}\hspace{5}\frac{\Phi(k)}{k}\hspace{5}\ge\hspace{5}1})
et le théorème de
Cézaro permet de conclure.
Montrons maintenant que
.
Sinon on aurait
et il existerait donc un entier
tel que
\hspace{5}\Phi(n)>n}})
.
je dis alors qu'aucun des
entiers
)
,
)
, .. ,
)
n'est supérieur ou égal à
(car si c'était le cas pour un certain 
on aurait )>\Phi^{-1}(p))
ce qui conduirait à la contradiction 
)
et ainsi les
entiers
,
, .. ,
sont tous dans
(sauf erreur bien entendu)
Posté par xtasxre : Exo défi : Bijection et suite converge 02-07-07 à 11:59 Bonjour
elhor >>
Cliquez pour afficher Jolie démonstration, je me demande d'où t'est venue l'idée pour la seconde partie !
Cependant pourrais tu m'expliquer la majoration du grand encadré stp ?
Parce que quand je calcule le premier terme de la seconde ligne de cet encadré, je trouve :
\\ = \frac{S_{n}}{n} + S_{1} - \frac{S_{n-1}}{n})
Mais je n'arrive pas ensuite à montrer que
Merci !
PS : ce n'est pas le théorème de Cé
Saro ?
Posté par elhor_abdelali re : Exo défi : Bijection et suite converge. 02-07-07 à 12:23
Posté par xtasxre : Exo défi : Bijection et suite converge 02-07-07 à 12:32 Merci !
Posté par elhor_abdelali re : Exo défi : Bijection et suite converge. 02-07-07 à 12:40 Je t'en prie xtasx
Posté par elhor_abdelali re : Exo défi : Bijection et suite converge. 08-07-07 à 17:50 Bonjour ;
Nightmare >>
Cliquez pour afficher Tu n'as pas donné suite à ce topic et je ne sais pas si ma (preuve) est juste ou s'il n'y'a pas plus simple
Posté par Nightmarere : Exo défi : Bijection et suite converge 08-07-07 à 17:59 Salut elhor
Cliquez pour afficher Une fois avoir montré que la limite était supérieur à 1 j'avais conclut plus rapidement en écrivant :
Si l'on pose
}{n})
:
}=\lim_{+\infty} \frac{n}{\phi^{-1}(n)})
On a donc :
}{n}=\frac{1}{L})
. D'après ce qui précède
ce qui permet de conclure.
Posté par elhor_abdelali re : Exo défi : Bijection et suite converge. 08-07-07 à 18:12 Nightmare >>
Cliquez pour afficher Astucieux
mais il te faudra tout de même justifier que
=+\infty})
?
Posté par Nightmarere : Exo défi : Bijection et suite converge 08-07-07 à 18:14 Cliquez pour afficher C'est trivial si phi est une bijection de N* dans N* non?
Posté par Nightmarere : Exo défi : Bijection et suite converge 08-07-07 à 18:15 Cliquez pour afficher Pourquoi avons-nous besoin de le justifier d'ailleurs? Le simple fait que ce soit une extractrice suffit non?
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