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Une idée, avant de me lancer dans les calculs.
Je commence par poser a=rho cos phi et b= rho sin phi.
L'intégrale devient un trinôme en rho dont je sais calculer le minimum en fonction des coefficients. Je sais calculer ces coefficients. L'un d'eux nécessite une intégration par parties et va sans doute dépendre de phi.
Il faudra ensuite étudier cette fonction de phi...

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C'est réparé pour le blankage. Ta méthode à l'air intéressante, elle ne fait pas parti des deux auxquelles je pensais mais tu peux la poster ça en fera une 3éme

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En suivant cette méthode, plutôt calculatoire, je trouve un minimum égal à , mais je n'ai pas vérifié les calculs.

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Dualité, projection orthogonale

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Dualité ?

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Je ne trouve pas ça. Puis-je voir ton calcul?

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Je pose donc et .

L'intégrale devient



Après calcul des intégrales (la deuxième nécessite une intégration par parties):



Pour fixé, le minimum de ce trinôme en est:

Pour variable, le maximum de est .

Le minimum de I serait donc ?

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C'est bon, désolé c'était une erreur de calcul de ma part! Bien joué. une autre méthode?

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On peut utiliser le produit scalaire, associé à l'intégrale, sur l'espace des fonctions continues sur [0, ]. Ce que l'on nous demande de calculer s'interprète alors comme la projection orthogonale de la fonction t->t sur le plan engendré par les fonctions sinus et cosinus. On détermine a et b en disant que t-acos(t)-bsin(t) est orthogonal à la fois à cos(t) et à sin(t).
Il faut prévoir quelques calculs d'intégrales.