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Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression

Posté par
simon92 28-09-07 à 22:59

Bonjour tout le monde, un petit exo défi, donner la valeur de l'expression suivante:
                                                   3$\frac{ (10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^2+324) }{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^2+324)}
Bien sur, il faut pas tapper ca sur sa TI-89 Titanium ou je ne sais quoi
C'est accessible, je dirais, au première, mais je suis pas sur... En tout cas, en terminale je crois pas qu'il y ait trop de soucis
Bonne chance a tous

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 28-09-07 à 23:04

réponse blankée, svp...
(et si, genre, après le lycée, on après le theorème truc muche, dont l'expression est une application direct), et bah, c'est pas la peine de donner votre réponse

Posté par
mikayaoure : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 29-09-07 à 09:21

salut simon

58 et 52 sont au carré ou puissance 4 ?

Posté par
rezoonsre : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 29-09-07 à 11:23

 Cliquez pour afficher

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 29-09-07 à 20:10

pardon c'est puissance 4
3$\red\textrm RECTIFICATIONS: \frac{ (10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324) }{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}
rezooms>>

 Cliquez pour afficher

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 29-09-07 à 20:14

n'hésitez pas a me demender un indice

Posté par
rezoonsre : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 29-09-07 à 20:28

"rezoons"
merci de ne pas ecorcher mon pseudo

tandis que pour ma calculette depuis qu'elle est tombé de mon balcon elle ne marche plus tres bien (meme plus du tout)

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 29-09-07 à 20:32

pardon^pour ton pseudo, et sinon, quelle démarche a tu employée? peut-être a tu vu que j'ai réctifié l'erreur dans l'énoncé...

Posté par
rezoonsre : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 29-09-07 à 20:39

ce que j'ai fait c'est que j'ai pris un bon tas de feuille blanche un stylo et j'ai tout fait a la main (vu que je n'avais rien a faire dautre)

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 29-09-07 à 21:03

bon bah bravo, mais pour le bon énoncé y'a une astuce

Posté par
mikayaoure : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 30-09-07 à 09:30

salut simon

le fait que 324 = 4*34 a-t-il un intérêt ?

si non, alors n'hésite pas à donner un indice

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 30-09-07 à 10:10

bonjour mikayaou
Le fait que 324=4*3^4, n'a pas d'interet, mais :
Indice 1:

 Cliquez pour afficher

et sinon, un indice imporant:
Indice 2:
 Cliquez pour afficher

Posté par
mikayaoure : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 30-09-07 à 10:13

oui le produit de fractions est visible, mais pour l'exploiter...

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 30-09-07 à 10:17

mikayaou>>

 Cliquez pour afficher

Posté par
mikayaoure : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 30-09-07 à 10:24

ach tu en as trop dit

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 30-09-07 à 10:27

on verra bien

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 30-09-07 à 15:34

tu t'en sors mika?
et sinon, personne d'autre n'est interressé?

Posté par
mikayaoure : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 01-10-07 à 07:50

pas eu le temps de m'y pencher ce WE, simon

et aujourd'hui peu de temps également...

Ce message pour euper

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 03-10-07 à 13:42

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 05-10-07 à 18:58

personne?????

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 05-10-07 à 18:58

si vous voulez je pourrais moster la solution mais pas maintenant, elle est longue a tapper

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 10-10-07 à 17:44

Bonjour,
bon bah, je donne la correction pour ceux que ca interesserait...
3$\textrm Le but de cette exercice est de calculer la valeur de l'expression suivante:
4$\textrm\red S= \frac{ (10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324) }{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}
3$\textr Mettons cette expression sous la forme d'un produit: \\ S=\prod_{k=0}^4 \frac{(10+12k)^4+324}{(4+12k)^4+324} \\ On remarque que 324=18^2 \\ Donc \\ S=\prod_{k=0}^4 \frac{(10+12k)^4+18^2}{(4+12k)^4+18^2} \\ De plus, l'on peut voir que (10+12k)^4+18^2=[(10+12k)^2+18]^2-36(10+12k)^2 \\ <=>(10+12k)^4+18^2=[(10+12k)^2+18-6(10+12k)][(10+12k)^2+18+6(10+12k)] \\ <=>(10+12k)^4+18^2= (144k^2+168k+58)(144k^2+312k+178) \\ Grace a la meme methode, l'on arrive a : \\ (4+12k)^4+18^2=(144k^2+24k+10)(144k^2+168k+58) \\ On remplace donc l'expression: \\ S=\prod_{k=0}^4 \frac{(144k^2+312k+178)(144k^2+168k+58)}{(144k^2+24k+10)(144k^2+168k+58)}
6$ \textrm\blue OHHHHHHHH!!! Mais ca se simplifie!!!!
3$\textrm Donc on arrive a : \\ S=\prod_{k=0}^4 \frac{(144k^2+312k+178)}{(144k^2+24k+10)} \\ Enfin, la derniere astuce est de voir que 144(k+1)^2+24(k+1)+10=144k^2+312k+178 \\ Donc S=\frac{144(4+1)^2+24\times 5+10}{144\times 0^2+24\times 0+10} \\ S=\frac{3730}{10} \\ Enfin:
5$\green\fbox{ S=373}
Dommage que personne n'ait prit le temps de chercher, car je trouvais cet exercice vraiment très interessant

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 12-10-07 à 13:45

ca n'a interessé personne... bon , pas grave

Posté par
lafol Moderateurre : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 12-10-07 à 19:53

Dommage que tu n'aies pas blanqué ta solution, simon, je viens seulement de le découvrir, et ça m'aurait amusé de le chercher demain en surveillant un DS ....
je suis trop curieuse pour ne pas lire la solution, j'aurais déjà eu du mal à me retenir d'ouvrir le blanqué

Posté par
infophilere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 12-10-07 à 19:55

Joli problème c'est vrai

Posté par
lafol Moderateurre : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 12-10-07 à 19:58

salut kévin ! ça marche, la prépa ?

Posté par
infophilere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 12-10-07 à 19:59

Bonsoir lafol

Pour le moment, ça roule

Je vais aller bosser d'ailleurs... cours demain matin

Bonne soirée

Posté par
lafol Moderateurre : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 12-10-07 à 20:01

et moi DS ....
bonsoir

Posté par
freniclere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 08:57

Bonjour Simon,

Détrompe-toi, cet exercice n'a pas intéressé personne. Je l'ai fait quand tu l'as posé, et puis j'ai oublié de publier la solution. Et les messages arrivent à une telle vitesse dans l'île que ton exercice a disparu de mes radars. Mais ça m'étonnerait que je sois le seul à l'avoir cherché, car il était effectivement très intéressant. Merci beaucoup !

Cordialement
Frenicle

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 12:42

bon apparement je me trompait
ta reussit facilement  frenicle?

Posté par
freniclere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 17:07

En fait, j'ai tout de suite pensé à la factorisation :
x4 + 4y4 = (x2 - 2xy + 2y2)(x2 + 2xy + 2y2)
et après, ça vient tout seul...

Posté par
mikayaoure : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 17:10



bravo frenicle

Posté par
infophilere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 17:14

C'est vrai ça vient tout de suite à l'esprit :D

Bonjour à tous

Posté par
mikayaoure : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 17:15

salut kévin

Posté par
simon92re : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 17:33

avec 4*3^4?
effectivement, c'est une bonne méthode...
mais c'est vrai que trouver la factorisation n'est pas evidente

Posté par
freniclere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 18:55

C'est toujours pareil, plus on a vu de choses, plus on les retrouve facilement.
J'avais vu un exo de Paul Halmos qui demandait pour quel valeur de n le nombre P = n4 + 4n est premier.

Il ne l'est que pour n = 1 et on le montre en écrivant

n4 + 4n = (n2 + 2n)2- 2n+1n2 = (n2 + 2n - 2(n+1)/2n)(n2 + 2n + 2(n+1)/2n)

ce qui donne une factorisation de P si n est impair.

Ici la technique est la même, voilà...

Posté par
freniclere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 18:59

pour quelle valeur

Posté par
mikayaoure : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 19:08

ah ben oui, avec l'exo de Paul Halmos, c'est alors trop simple comme ça frenicle Exo défi : Calcul de la valeur d\'une expression

Posté par
infophilere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 19:10

C'est le théorème de Sophie Germain

Posté par
freniclere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 19:20

Ah bon ?

Posté par
infophilere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 19:23

Enfin presque pas tout à fait :

Posté par
infophilere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 19:24

Oups j'ai oublié d'effacer un mot

Posté par
freniclere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 19:25

Oui, c'est bien la même chose, ou presque. L'auteur de l'article n'a pas dû se relire, on se demande bien ce que vaut a

Posté par
infophilere : Exo défi : Calcul de la valeur d'une expression 13-10-07 à 20:16

Donc je suis impardonnable j'aurais du penser à cette factorisation


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