Exo défi > Découpage d'un hypersandwich

 Niveau exercicesPartager :
			        
Exo défi > Découpage d'un hypersandwich
Posté par 
Nightmare  12-01-09 à 19:11
Bonsoir 

Allez pour une fois, un défi qui sort de l'ordinaire.

Citation :
On considère un sandwich au poulet. Montrer qu'on peut d'un coup de couteau le découper de telle sorte que chaque partie ait autant de poulet et de pain que l'autre.

Généralisation : On considère un hypersandwich (sandwich dans ) contenant n-1 hyperingrédients. Montrer qu'on peut d'un coup d'hypercouteau le découper de telle sorte que chaque partie ait la même quantité de chaque hyperingrédient que l'autre.

Bon courage. 

 Posté par 
Youpire : Exo défi > Découpage d'un hypersandwich  12-01-09 à 23:22
Bonjour jord

 Cliquez pour afficher
pour être sûre d'avoir compris: est ce qu'un hyper couteau est de dimension n-1 ?
 Posté par 
Nightmarere : Exo défi > Découpage d'un hypersandwich  12-01-09 à 23:29
Salut youpi 

 Cliquez pour afficher
C'est bien ça, un hyperplan 
 Posté par 
Youpire : Exo défi > Découpage d'un hypersandwich  12-01-09 à 23:32
 Cliquez pour afficher
pour être honnête je ne sais absolument pas comment prouver ce résultat, mais l'énoncé de ce défi est trop sympa !

j'ai hâte de voire la solution (mais j'ai un peu peur qu'elle me dépasse ... 
 Posté par 
Nightmarere : Exo défi > Découpage d'un hypersandwich  12-01-09 à 23:41
 Cliquez pour afficher
Oui il se cache derrière l'énoncé enfantin un exercice de topologie, facile si l'on admet un théorème, difficile si on doit le redémontrer !
 Posté par 
ImodSandwich de Ham  13-01-09 à 11:21
 Cliquez pour afficher
Il s'agît du fameux problème du sandwich de Ham .

Cas particuler du magnifique théorème de Borzuk-Ulam dont les applications sont multiples dans le discret comme  dans le continu

Imod
 Posté par 
Nightmarere : Exo défi > Découpage d'un hypersandwich  13-01-09 à 16:33
 Cliquez pour afficher
Oui Imod, enfin le but est de le montrer, pas d'en citer le nom 
 Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi > Découpage d'un hypersandwich  13-01-09 à 18:54
Salut Jord 

 Cliquez pour afficher
Je ne pense pouvoir y participer mais vu que le topic est déjà dérougi, j'me lance: comment définis-tu un sandwich topologiquement parlant?

 Posté par 
Nightmarere : Exo défi > Découpage d'un hypersandwich  13-01-09 à 19:09
Salut Ayoub 

 Cliquez pour afficher
On prend le sandwich comme , les ingrédients en sont alors des sous-espaces mesurables. (On peut compter le pain comme un seul espace mesurable ayant deux composantes connexes ou comme deux espaces connexes, ça ne change rien)

L'exercice revient à montrer que si l'on considère n sous-espaces mesurables de R^n alors il existe un hyperplan qui les partage tous en deux.
 Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi > Découpage d'un hypersandwich  13-01-09 à 19:25
 Cliquez pour afficher
Oula, ça dépasse de loin mes "compétences" (piètre grand mot) en analyse. Pour peu que je comprenne, ça semble assez marrant quand même.

 Posté par 
rogerddécoupage  14-01-09 à 13:02
Bonjour à tous

J'ai, peut-être, une démonstration élémentaire dans le cas de la dimension 2.

 Cliquez pour afficher

Je rapporte le plan à un repère Oxy orthonormé . Soit OXY le repère qui s'en déduit par rotation de .

Pour  fixé, il y a (je l'admets) une parallèle unique à OY coupant le pain en deux parts égales. Soit 1() l'abscisse de son intersection avec OX. On voit que   1() =-   1(0) . J'admets que la fonction 1 est continue sur [0,].

J'associe de même au poulet la fonction 2 et je pose 

=1-2.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe  sur [0,] tel que ( )=0.

Les deux droites associées à ce  sont confondues.

 Posté par 
rogerdsandwich  19-01-09 à 23:46
Bonsoir à tous!

Toujours pas de commentaire?
 Posté par 
Nightmarere : Exo défi > Découpage d'un hypersandwich  20-01-09 à 02:44
Salut Rogerd 

 Cliquez pour afficher
Qu'est-ce que tu appelles Sandwich pour la dimension 2 ?
 Posté par 
rogerdsandwich  20-01-09 à 09:46
Bonjour Nightmare

 Cliquez pour afficher

Je considère que le pain et le poulet sont deux parties d'un même plan euclidien.

Il faudrait bien sûr rajouter des hypothèses de bon sens: deux parties du plan bornées et quarrables (on peut leur attribuer une aire) ainsi que leurs intersections avec chacun des deux demi-plans limités par le couteau (quelle que soit la position du couteau).

Il faudrait sans doute rajouter des hypothèses pour que ma démonstration fonctionne. Il me semble que deux convexes limités chacun par une courbe fermée de classe C1 par morceaux devraient convenir, car on pourrait appliquer les résultats usuels sur le calcul des aires planes.

Bonne journée.
 Posté par 
Nightmarere : Exo défi > Découpage d'un hypersandwich  20-01-09 à 13:34
Rebonjour 

 Cliquez pour afficher
Tu admets l'existence de la parallèle qui coupe le pain en deux partie égale, c'est ce qu'on veut montrer non?
  Posté par 
rogerdsandwitch  20-01-09 à 13:53
Rerebonjour 

>Nightmare:

L'énoncé tel que je l'ai compris:

Montrer que, d'UN SEUL coup de couteau rectiligne, on peut découper le morceau de pain en deux parties d'aires égales et le poulet en deux parties d'aires égales.

Bien sûr, se limiter à la dimension deux est peu réaliste (pain et poulet sont extra-plats!)