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Exo défi > Différentiabilité, distance à un fermé
Bonsoir 
Un bel exercice que je viens de renconter :
On considère un fermé F de
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que
Bon courage.
Jord
salut
au moins un voisinage ouvert de x ne rencontre pas F....
ie x n'est pas au bord de F voire même peut-être sa distance à F n'est pas nulle
et bonne année
La réponse :
Il faut et il suffit que d(x,F) soit atteinte en un unique point de F.
Pouvez-vous le démontrer?
Un indice :
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(ou si peu inintéressant !)salut Nightmare
c'est juste pour te faire un coucou
je réfléchis mais je vois pas ce qu'approte l'unicité pour l'instant
mais bon (ou plutôt mal) j'ai un peu de mal car je suis malade
alors je repredrai + tard
merci et bonne nuit car demain faut retourner au "turbin"
Héhé, encore un mois de vacance pour moi
Si tu ne t'en sors pas regarde l'indice, il débloque bien
Bon courage pour demain et rétablit toi bien 
Alors la condition est bien que la distance d(F,x) soit atteinte en un unique point.
Il faut revenir au DL de d²(x,F)
Si on note px,F(h)= inf{<x-c,h> : c € F, d(x,c)=d(F,x)} pour tout h dans Rn
et Cx={c€F| d(c,x)=d(x,F)}
On montre avec F fermé que pour x fixé, il existe un c0 dans Cx tel que px,F(h0)= <x-c0,h>
De plus on a pour tout h dans Rn et c dans F
d²(x+h,c)= ||x-c||² + 2<x-c,h)+ ||h||²
Ainsi on a d²(x+h,F)
||x-c||² + 2<x-c,h>+ ||h||²
Et en particulier d²(x+h,F) ||x-c0||² + 2<x-c0,h)+ ||h||²
or comme c0€Cx on a ||x-c0||²=d²(x,F) et par la définition de c0 on a également 2<x-c,h> = 2.px,F(h)
Dés lors on a d²(x+h,F) d²(x,F) + 2.px,F(h) + ||h||²
On a donc si px,F linéaire par rapport à h bien un DL de d² en x
Or px,F(h) linéaire si et seulement si Cx est réduit à un seul élément.
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