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Exo défi : divergence

Posté par
Violoncellenoir 13-02-08 à 21:18

Bonsoir

Un petit classique parmi les classiques :

Montrer que la série4$\Bigsum_{k=1}^\infty~\frac{k^k}{k!} diverge à l'aide du critère de d'Alembert.

Un indice pour les Terminales qui voudraient tenter l'exo :

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Posté par
simon92re : Exo défi : divergence 13-02-08 à 21:28

Bonsoir,
J'arrive avec l'indication a :

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Posté par
Violoncellenoirre : Exo défi : divergence 13-02-08 à 21:34

Salut Simon

J'ai omis de le signaler mais tu dois arriver à une valeur précise, bien connue d'aileurs

Posté par
Violoncellenoirre : Exo défi : divergence 13-02-08 à 21:35

d'ailleurs, pardon

Posté par
simon92re : Exo défi : divergence 13-02-08 à 21:38

Une valeur pour la limite ?

Posté par
Violoncellenoirre : Exo défi : divergence 13-02-08 à 21:40

Citation :
Une valeur pour la limite ?


Oui

Posté par
simon92re : Exo défi : divergence 13-02-08 à 21:41

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Posté par
Violoncellenoirre : Exo défi : divergence 13-02-08 à 21:44

Simon

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Posté par
simon92re : Exo défi : divergence 13-02-08 à 21:44

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Posté par
Violoncellenoirre : Exo défi : divergence 13-02-08 à 21:49

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Posté par
Violoncellenoirre : Exo défi : divergence 23-02-08 à 14:59

Correction

Une solution possible pourrait être :

\lim_{k\to +\infty} \frac{ak+1}{ak} = \lim_{k\to +\infty} 3$\frac{\frac{(k + 1)^{k+1}}{(k + 1)!}}{\frac{k^k}{k!}} = \lim_{k\to +\infty} 3$\frac{k!(k + 1)^{k+1}}{k^k(k+1)!} = \lim_{k\to +\infty} 3$\frac{k!(k + 1)^k(k+1)}{k^k(k+1)k!} = \lim_{k\to +\infty} 3$\frac{(k+1)^k}{k^k} = \lim_{k\to +\infty} (1 + \frac{1}{k})k = e

On a e > 1 par conséquent la série diverge.

Posté par
rogerddivergence 23-02-08 à 15:10

Est-on tenu d'appliquer d'Alembert?
Sinon on peut dire simplement que la série diverge car son terme général ne tend pas vers 0 (il est >1)

Posté par
Violoncellenoirre : Exo défi : divergence 23-02-08 à 15:14

Disons que le but de l'exo était d'utiliser le critère de D'Alembert, histoire de montrer son utilité. Et puis c'est toujours sympa de finir sur e en l'occurrence


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