Personne?

Oh ben c''tes pas tres compliaue d'une part de trouver explcitemet F a l'aide de polynome cyclotomique comme ils sont irred l'action de galois est transitive, on trouve donc facilement la permutation, et domc sa signature qui vaut le symbole de legendre de (-1)^q-1
Le seul point un peu delicat est le calcul effectif de la signature, sans utiliser l'argument massue que constitue un thoereme bien connu (?) de Frobenius (Frob-Zolotarev, me semble t'il). On peut se rappeler que le carractere quadratique (i.e) le symbole de legendre est le seul morphisme non trivial de Fp^r dans Z/2 et qu'il coincide donc avec la signature (qui n'est plus le nombre d'inversion!!) ainsi aue un morphisme d,un groupe de matrice dans un groupe abelien se factroise a travers le detrminant, si les matrices ne sont pas de taille 2 et si le corps n'est pas F2 (decidement 2 quelle plaie!!) ce qui revient en fait a demontrer le theoreme mentionne...

Salut Rodrigo

Yavait longtemps...
Ma démonstration est quand même bien plus élémentaire... (le calcul de la signature se règle en moins de 3 lignes ici, tout marche très vite et bien).

Salut,
Je suis curieux de voir comment tu calcule cette signature autrement aue par des arguments similiares aux miens?
Parce que je dis que la base naturelle pour ecrire la matrice de permutation c'est celle donne par les conjugues sous l'action du frob (vu que celle ci est transitive), mais on a pas l'identite calssique entre detrminant et siganture, il y a un symbole de legendre qui se glisse la dedans...Pour resumer ta methode m'interesse...

On doit avoir la même méthode (je vois pas 50 manières de répondre à cette question) mais disons que j'utilise pas tout le jargon que tu as utilisé. Maintenant, il est très probable qu'au fond ça soit exactement la même chose; le contraire m'étonnerait.

Je ne considère pas la racine triviale 1. Comme dirait mon prof de math: "ce n'est pas d'un interêt foudroyant". En fait, après c'est super simple:
On prend une racine, disons e et on calcule le cardinal de . On voit assez facilement que cet ensemble est de cardinal d où d est l'ordre de p dans Z/qZ.
Au final, on se retrouve avec un 1-cycle et (q-1)/d cycles d'ordre d.

Attends je suis pas sur de comprendre, le cardinal de cet ensemble c'est (q-1), car tu est dans le corps de decomposition du polynome 1+T+..+T^{q-1}, sur Fp, qui est donc de degre q-1, les racines de ce polynome sont alors e, e^p,..,e^p^(q-1)...Non?

Mais P n'a aucune raison d'être irréductible sur Fp, si?

Effectivement...