Bonjour Eurotruck.

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Il y a déjà les fonctions exponentielles : f(x) = a^x, a étant un nombre positif.

Bonjour,
  Tout d'abord interessons nous à f(0) :
  f(x+y) = f(x).f(y) implique pour x=y=0 f(0)=f(0)²
On est donc dans un des cas suivants :
1er cas f(0) = 0, alors f(x+0)=f(x).0 = 0 donc f = 0, la fonction nulle
2eme cas f(0) = 1, alors f est un morphisme de groupe continue (car dérivable) de (R,+) dans (R,x), et est donc de la forme x |-> exp(a.x) où a est quelconque.

Lemme : Montrons que si f est un morphisme de groupe continue de (R,+) dans (R,+) alors elle est de la forme a.x. (On appliquera ce théorème à ln o f pour prouver le lemme utilisé en gras.)

Posons a = f(1).
Comme f(n.x) = n.f(x) pour n entier (f(n.x) = f(x+..+x) = f(x)+..+f(x) = n.f(x) )
alors f(n) = n.f(1) = a.n pour n entier

Soit p/q un rationnel, on calcule q.f(p/q) = f(q.(p/q))=f(p)=a.p
D'où pour tout x rationnel, f(x)=a.x.

Par ailleurs, pour tout x réel, il existe une suite x_n de rationnel qui tend vers x.
f(x) = f ( lim x_n ) = lim (f(xn))=lim a.xn = a.x.

On a montré que f était de la forme a.x. Ce qui achève la démonstration, et l'exercice. (enfin je crois ^^)

tu es gentil avec f dérivable.
Je pense que f bornée au voisinage de 0 suffit.


Sinon petit sujet de reflexion  :
soit f non continue telle que pour tout x,y f(x+y) =f(x)+f(y).
Montrer que le graphe de f est dense dans R^2.

je donne la solution:

Les  fonctions dérivables sur R et vérifiant f(x+y)= f(x).f(y) sont la fonction nulle et les fonctions
x ke^f'(0)x, où kR.