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1) Pour positive au sens large c'est triviale (même les fonctions non périodiques en ont une ):0
Pour positive au sens strict, on a vu dans le défi d'avant que l'ensemble de des périodes d'une fonction étaient un sous groupe monogène ou dense. Dans le cas de la densité la fonction étaient constante. Donc dans notre cas il est monogène de la forme aZ (où a€R).
D'où le résultat.

2) Là, je suis sceptique. Si je prends f(x)=x-E(x) je suis pas sur qu'un tel réel existe.
Une hypothèse de continuité?

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Dans ce cas, je suis d'accord.
On considère un segment de longueur T. Par exemple [0,T]. f admet au moins un max (qu'on notera b) atteint en un point x1 et au moins un min (qu'on notera a) atteint en un point x2.
Le résultat vient du fait que on a obligatoirement |(x1-T)-x2|<T/2 ou |x1-T|<T/2 (inégalité au sens large bien sur). On prend alors [x1-T,x1-T/2] ou alors [x2,x2+T/2]. L'un des deux convient forcément par continuité de f.

Désolé pour la rédac pas terrible terrible.

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C'est ça, bravo