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Exo défi : Fonctions convexes, intégrale.
Bonsoir à tous.
Un petit exo très sympathique et dont le résultat est utile dans la vie de tous les jours (pour une fois 
)
Soient 4 réels avec a < b et
1) Montrer qu'il n'y a qu'une seule fonction affine g dans F (question facile)
2) Montrer avec des arguments de convexité que pour tout f dans F, (Cela dit, si vous avez une preuve sans convexité elle est la bienvenue aussi)
3) Que peut-on en conclure?
A vous de jouer.
Jord
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Bon eh bien j'envoie une solution possible pour ceux que ça interresse :
La fonction est convexe.
Par conséquent elle est au dessus de toutes ses tangentes.
Ainsi, pour tout a et x :
En particulier en prenant x=f' et a=g' :
ie :
Soit en intégrant sur [a,b] :
Or, g' est constante donc
D'où CQFD.
La conclusion qu'il fallait en tirer : Le plus court chemin entre deux points donnés est le segment joignant ces deux points
Bonjour,
Le plus court chemin entre deux points donnés est le segment joignant ces deux points
Nightmare
Le chemin le plus court d'un point à un autre est la ligne droite, à condition que les deux points soient bien en face l'un de l'autre.
Pierre Dac
joli gloubi de citer Pierre Dac 
Le chemin le plus court d'un point à un autre est la ligne droite...en géométrie euclidienne, bien sûr
...et en géométie riemannienne ?
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