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Exo défi : inégalité double somme.

Posté par
Nightmare 03-07-07 à 19:51

Re bonsoir à tous

Un exercice plus simple pour les terminales / sup :

Soient n un naturel non nul et 3$\rm (a_{i})_{1\le i\le n}\in(\mathbb{R}+)^{n}.
Montrer que :
3$\rm \Bigsum_{i=1}^{n}\sqrt{\Bigsum_{j=i}^{n} a_{j}}\le \sqrt{\Bigsum_{i=1}^{n} i^{2}a_{i}}


Jord

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exo défi : inégalité double somme. 03-07-07 à 20:02

Salut Jord

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Posté par
xtasxre : Exo défi : inégalité double somme. 03-07-07 à 20:02

Bonjour,

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Posté par
xtasxre : Exo défi : inégalité double somme. 03-07-07 à 20:13

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Posté par
Nightmarere : Exo défi : inégalité double somme. 03-07-07 à 20:14

Pardon, je corrige l'énoncé.

Posté par
xtasxre : Exo défi : inégalité double somme. 03-07-07 à 20:21

Ah oui c'est plus compliqué maintenant. Bon je cherche quand même

Posté par
xtasxre : Exo défi : inégalité double somme. 08-07-07 à 15:02

Je ne comprends pas trop (je suis le seul à chercher on dirait bien ).
Pour n = 2 par exemple, ça nous donne bien :

\sqrt{a_{1}+a_{2}}+\sqrt{a_{2}} \le \sqrt{a_{1}+4a_{2}},

non ?

Pourtant en élevant le premier membre au carré, je trouve :

(\sqrt{a_{1}+a_{2}}+\sqrt{a_{2}})^{2} = a_{1} + 2a_{2} + 2\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}a_{2}} \le a_{1} + 4a_{2} et donc :

\sqrt{a_{1}+a_{2}}+\sqrt{a_{2}} \ge \sqrt{a_{1} + 4a_{2}}


et par exemple pour a_{1} = a_{2} = 1/2, l'inégalité est stricte.

Donc la réponse est : l'inégalité est fausse ?

Posté par
xtasxre : Exo défi : inégalité double somme. 10-07-07 à 12:36

Un petit up pour avoir une reponse de Nightmare.

Posté par
Nightmarere : Exo défi : inégalité double somme. 10-07-07 à 14:44

Bonjour à tous

Correction :

On note 3$\rm \alpha_{i}=\sqrt{a_{i}}

Nous avons :
3$\rm \Bigsum_{i=1}^{n}\sqrt{\Bigsum_{j=i}^{n} a_{j}}=\sqrt{\alpha_{1}^{2}+...+\alpha_{n}^{2}}+\sqrt{0^{2}+\alpha_{2}^{2}+...+\alpha_{n}^{2}}+...+\sqrt{0^{2}+0^{2}+...+\alpha_{n}^{2}}\le \sqrt{\alpha_{1}^{2}+(2\alpha_{2})^{2}+...+(n\alpha_{n})^{2}} d'après l'inégalité de Minkowski pour n éléments.


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