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Exo défi > intégrale et matrice, grand théorème.

Posté par
Nightmare 08-01-09 à 14:17

Bonjour bonjour

Allez cela faisait longtemps, un petit exercice qui fournit une preuve d'un joli théorème connu de tous les spé.

Citation :
On considère 3$\rm M\in Mn(\mathbb{C}), 3$\rm \Gamma un lacet dans 3$\rm \mathbb{C} tel que 3$\rm \forall \lambda\in sp(M), I(\Gamma,\lambda)=1.

Soit 3$\rm R\in \mathbb{C}(X) n'ayant pas de pôle dans 3$\rm sp(M), montrer que 3$\rm R(M)=\frac{1}{2i\pi}\Bigoint_{\Gamma} R(z)(zI_{n}-M)^{-1}dz

En déduire le théorème de Cayley-Hamilton


Bon courage.

Posté par
Nightmarere : Exo défi > intégrale et matrice, grand théorème. 08-01-09 à 23:52

Pas d'amateur? Il n'est pas difficile (pour rassurer ceux qui sont découragés par la forme )

Posté par
raymond Correcteurre : Exo défi > intégrale et matrice, grand théorème. 09-01-09 à 11:38

Bonjour Nightmare.

Je connais ce superbe exercice. Tu devrais donner aux éventuels amateurs quelques pistes intermédiaires.

Posté par
Nightmarere : Exo défi > intégrale et matrice, grand théorème. 09-01-09 à 12:53

Un indice Raymond? Je ne pense vraiment pas que ce soit nécessaire

Enfin en voila un :

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Posté par
raymond Correcteurre : Exo défi > intégrale et matrice, grand théorème. 10-01-09 à 08:32

Bien peu d'amateurs !

Posté par
ottore : Exo défi > intégrale et matrice, grand théorème. 10-01-09 à 10:56

Il y'a peu d'amateurs dans les sujets les plus "intéressants", à savoir ceux qui sortent un peu du niveau sup/spé calculatoire selon moi.

Posté par
Nightmarere : Exo défi > intégrale et matrice, grand théorème. 10-01-09 à 16:15

Dommage, c'est une preuve vraiment très intéressante... pas beaucoup d'amateurs d'analyse complexe sur le forum

Posté par
ottore : Exo défi > intégrale et matrice, grand théorème. 10-01-09 à 16:28

Les plus grands amateurs ou les plus habitués de ces questions viennent plus rarement, Cauchy, Ksilver et Kaiser sont rarement là ces temps ci, non ?

Posté par
ceacyre : Exo défi > intégrale et matrice, grand théorème. 24-02-09 à 10:26

A titre d'information, cet exercice a été posé aux oraux des Mines en 2008, avec une question préalable :
1). k > 0 fixé, A matrice complexe.
Mq \exists R\ge 0, \forall r \ge R,
A^{k-1} = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi}r^k e^{ikt} (r e^{it}I_n - A)^{-1}
2). En déduire Cayley-Hamilton.


J'avoue que la deuxième question me pose problème (donc, la question en tête de ce topic), je ne vois pas trop quoi utiliser ...

Posté par
ceacyre : Exo défi > intégrale et matrice, grand théorème. 25-02-09 à 20:42

Après réflexion, je crois avoir trouvé une démonstration pour ma deuxième question (mais pas pour la question générale de début de topic) : en notant P(X) le polynôme caractéristique de A, on obtient

P(A) = \frac{1}{\2\pi} \int_{0}^{2\pi} re^{it} . P(re^{it}).(re^{it}I_n - A)^{-1} dt
P(A) = \frac{1}{\2\pi} \int_{0}^{2\pi} re^{it} . com(re^{it}I_n - A)^T dt
Chaque coefficient de com(XI_n - A)^T est un polynôme en X, donc chaque coefficient de X com(XI_n - A)^T est un polynôme en X sans terme constant. Or, quand on fait l'intégrale de 0 à 2\pi d'un polynôme R(re^{it}), on obtient son terme constant multiplié par 2\pi. Ici, on obtient donc la matrice nulle.


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