Salut Jord,

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Euh, c'est costaud quand même sans rien non? Je me rappelle l'avoir traité en tant que sujet de Centrale (TSI, 2003 si je me souviens bien). C'est plutôt (très) long et peu naturel...
On démontre par récurrence finie sur C. Et on passe dans R en utilisant que deux matrices réelles semblables en tant que matrice complexe le sont également en tant que matrice réelle.

Salut,

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Récurrence? Peut-être... je n'ai pas fait comme ça. L'exercice était balancé nu de tout indice ( Apparemment c'est un exo d'oral de L'X)

Personne?

Jord >>

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Ca doit être une démo plus simple que celle que j'ai alors. Tant mieux, ça doit être certainement plus beau.

Bonjour

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Il y a une démonstration qui utilise le fait évident qu'elles sont le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal, donc les mêmes invariants, donc semblables, mais je doute que ce fait soit connu à ce niveau. Sinon, en passant par une forme de Jordan dans C on y arrive aussi, mais ça suppose de savoir que des matrices réelles semblables dans C le sont aussi dans R.

Tu as plus simple?

Camélia >

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Je suis effectivement passé par Jordan puis par le fait que les matrices réelles semblables dans C sont dans R aussi, ce n'est pas difficile

schumi

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Merci de rendre hommage au sujet de Centrale TSI

Il s'agissait de rendre abordable la démonstration usuelle de cette propriété, qui n'est pas évidente

rogerd >>

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Je t'en prie. Disons que pour moi, ce sujet est dans le top 5 des sujets de Centrale vraiment intéressant.

Bonjour,

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ma méthode repose sur la densité des matrices diagonales (eh oui ! encore une fois)
---> si c'est diagonalisable: soit P, D, avec D diagonale et P de GL_n() tel que : A= PDP^-1, puis A = (P^tP)^tA(P^tP)
---> si A non diagonalisable :
On munit M_n() de la norme subordonnée.
Soit A_n et P_n les suites de matrices telles que A_n-> A, avec quelque soit n A_n diagonalisable, et P_n de Gl_n() tel que : A_n=P_n^tA_nP_n^-1.
En posant, Q_n = P_n/|||P_n|||, on a bien :
A_n=Q_n^tA_nQ_n^-1.
On pose : C = {A GL_n()/ |||A||| = 1}
C est clairement compact.
j'ai Q_nQ_n^-1 = I_n.
j'extrais une première sous suite des (Q_(n)) qui converge vers Q.
puis encore une sous suite de la précédente et donc (Q_o(n)^-1) -> Q'.
Ainsi, p ,
Q_o(p)Q_o(p)^-1)=I_n, puis p->+ donne: Q.Q'=I_n, ie Q'= Q^-1.
Maintenant on conclut : p , A_o(p)=Q_o(p).^tA_o(p).Q_o(p)^-1
p->+ donne : A= Q.^tA.Q^-1

Conclusion :TOUTE MATRICE REELLE EST SEMBLABLE A SA TRANSPOSEE.

petit détail j'ai oublié un exposant -1 dans mes premières lignes :
A=(P^tP)^tA(P^tP)^-1

hatimy >

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C'est joli, j'aime bien voir la densité apparaitre bravo

Nightmare >>

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Coool Au début j'avais galérer pour trouver que c'est l'ensemble C qui convenait, mais avant j'avais simplifié par le déterminant en espérant montrer que {AGl_n()/det(A)=1} est un compact de Gl_n(), mais bon echec ...

Moi? Aimer déterrer?

Jordan >>

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Je viens de découvrir la réduction de Jordan. Effectivement, c'est surpuissant. Je suis bluffé.
Voici comment je procèderai. J'ai pas tout tout fait dans le détail mais je pense pas qu'il y ait des erreurs.
On prend donc A dans M_n(R).
C étant algébriquement clos, est scindé sur C.
On remarque que, les poly minimaux et caractéristiques de A et ^tA étant égaux, les sous espaces caractéristiques le sont aussi. Bref, en Jordanisant (), on constate que, quitte à permuter certains blocs, la réduction de Jordan des 2 sont les mêmes. Donc A et ^tA sont semblables en tant que matrices de M_n(C) et donc de M_n(R).
C'est presque trop simple...

C'est bien ça bien joué !

D'ailleurs ta remarque me fait penser à quelque chose.

On remarque que deux matrices semblables sur C sont semblables sur R.

Est-ce que toutes matrices semblables sur un corps quelconques sont semblables sur un sous-corps de ce dernier? Si oui, comment le prouve-t-on ? Si non, quelle condition doit-on ajouter pour que ce soit vrai?

une petite question à hatimy, tu es en sup ou en spé?

Salut Jord,

C'est toujours vrai il me semble. Dans le cas des corps finis, ça fait appel à des notions de réduction que je ne maîtrise pas (invariants de similitudes). C'est mon prof qui me l'a dit. Par contre, dans le cas des corps infinis, je me rappelle l'avoir déjà traité. Tout repose sur le fait que le rang d'une matrice ne dépend pas du corps de base. Si je la retrouve, je la remets.

Oui ça m'intéresserait

Merci Ayoub!

Rebonjour à tous.

C'est vrai que si deux matrices à coefficients dans un corps K sont semblables dans un sur-corps L alors elles sont semblables dans K. La première idée qui me vient est aussi à base d'invariants, mais je vais regarder si je trouve plus simple...

Bon, je retrouve plus la démo initiale. Tant pis, en voici une autre plus "naturelle".

Proposition: Soient k et K deux corps infini avec et A,B deux matrices de . On suppose que A et B sont semblables dans . Alors elles sont semblables dans .

Il existe donc telles que .
On considère le plus petit sur-corps de k contenant P. A priori K n'est pas de dimension finie en tant que k-ev. On s'en sort en considérant le sous groupe additif F de (K,+) constitué de k auquel on ajoute tous les coef de la matrice de P (on se débrouille pour bien avoir un sous-groupe évidemment...). F est lui de dimension finie en tant que k-ev (de dimension au plus n²).
On en prend donc une base . En décomposant P dans cette base (oula c'est pas rigoureux, je sais, mais c'est ce qu'on fait dans le cas R/C) on a l'existence de p matrices ,..., telles que:
et (*).

Il nous reste donc à montrer qu'il existe tel que soit inversible.
On avait remarqué dans le cas réel/complexe qu'il existait x réel tel que det(P_1+xP2) était non nul. Ici c'est exactement la même chose:

On considère . Il s'agit d'un polynôme à p indéterminées à coefficients dans k (ie, un élément de ). Il est non nul d'après (*). Et on montra facilement (par récurrence par exemple...) le lemme suivant:

Sur un corps infini E, si un polynôme P de est non nul alors il existe tel que .

Ce qui permet de conclure.