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Exo défi > Matrice semblable à sa transconjuguée
Bonsoir 
Aujourd'hui un ami actuellement en spé m'a proposé cet exercice issu de son DS :
Montrer qu'une matrice complexe est semblable à sa transconjuguée si et ssi elle est semblable à une matrice réelle.
En réalité, je n'ai pas trouvé de solution "simple"
J'ai une solution complètement surréaliste utilisant la réduction de Jordan, je vous soumets donc l'exercice voir si vous trouvez plus simple (je n'en doute pas 
).Bon courage.
Bonjour
Peut-on supposer connu le résultat: "Toute matrice carrée réelle ou complexe est semblable à sa transposée"?
Salut
rogerd >> A priori non, vu que ça sort d'un ds de spé...
Sinon, j'y ai réfléchi ces deux derniers jours mais je ne vois vraiment pas comment s'en sortir sans le théorème des facteurs invariants (ou Jordan, c'est pareil ici). 
D'autant plus que comme l'a fait remarquer rogerd, le fameux résultat "toute matrice complexe est semblable à sa transposée" en est un cas particulier dont toute démo (à ma connaissance) utilise d'une manière ou d'une autre Jordan...
Il n'y avait pas d'autres questions auparavant dans ce fameux DS? Je doute qu'on autorise les élèves à utiliser des marteaux pilons comme jordan en ds, vu qu'on y a pas droit aux concours... ^^
Salut vous deux
Rogerd > On peut, mais ce n'est pas drôle
Ayoub > C'est un ds de LLG, donc, de mon expérience, les trucs hors-programme des concours sont autorisés
salut!
On peut penser qu'on simplifie le problème en se limitant à des matrices réelles. Or, dans ce cas, on est ramené à démontrer la similitude de la matrice et de sa transposée, aussi difficile que dans le cas complexe.
Je pense donc qu'il n'y a pas de démonstration "simple" pour l'exercice proposé.
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