Bonjour à tous.
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Je reprends: c'était incomplet et peu clair.
Soit A de rang 1. Je l'interprète comme matrice d'un endomorphisme f d'un e.v. E
Imf est une droite, Kerf un s.e.v. de dimension n-1 (n>=2).
1er cas: Imf non inclus dans Kerf. Je forme une base en complétant un vecteur u1 de Imf par une base u2,..,un de Kerf. La matrice de f sur cette base est diagonale avec, sur la diagonale, un certain k puis des 0. k est donc la trace de f et elle est non nulle car cette matrice, que nous noterons A(k), n'est pas nulle.
2eme cas: Imf est inclus dans Kerf Soit u1 n'appartenant pas à Kerf Posons u2=f(u1); u2 dirige Imf. Complétons le par u3,...,un de façon à ce que u2,u3,..,un soit une base de Kerf. u1,u2,...,un est une base de E et la matrice de f sur cette base est une matrice C bien particulière: un 1 à la deuxième ligne première colonne et des zéros partout ailleurs. Dans ce cas, la trace de f (=trace(C)) est nulle.
Au point où nous en sommes, tournons nos conclusions d'une autre façon:
Pour une matrice A de rang 1, ou bien sa trace est non nulle et A est semblable à A(k), avec k=trace(A), ou bien sa trace est nulle et A est semblable à C.
Prenons maintenant deux matrices A et B de rang 1.
Si elles n'ont pas la même trace, elles ne sont pas semblables
Si elles ont la même trace:
Si cette trace est non nulle, elles sont semblables à la même A(k) donc semblables entre elles.
Si cette trace est nulle, elles sont semblables à C donc semblables entre elles.
C'est peut-être un peu compliqué?