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- supposons A diagonalisable. Alors, on écrit A = PDP^{-1} avec D diagonale. A étant inversible, le produit des coefficients de D est non nul, donc ils sont tous non nuls. En écrivant D = diag(di), il existe alors ci tel que di = exp(ci) pour tout i. On pose alors
B = PQP avec Q = diag(ci).

Par construction exp(Q) = D et exp(PQP^{-1})  = Pexp(Q)P^{-1} (classique, voir sur la série définissant l'exp).
Donc exp(B) = A.

- si A est non diagonalisable, on utilise le résultat classique : l'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans l'ensemble des matrices inversibles. On prend An -> A, An diagonalisable. Il existe Bn tq pour tout n An = exp(Bn).  Il reste alors à prouver que Bn converge (vers B par ex) et alors, par continuité de l'exp : A = exp(B).

C'est correct jusque là, ou pas ? (l'agrég m'a un peu flingué le cerveau ^^)

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J'ai une jolie démonstration qui utilise du calcul diff et de la topologie... ca vous intéresse?

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Si c'est zoli, j'achète.

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C'est bon pour le moment, ton argument de densité a l'air interressant, je ne suis pas passé par là, si tu as le courage de terminer cette preuve m'interresse !

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Une jolie preuve de ta part est toujours un grand plaisir à lire

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Théorème d'inversion locale ?

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Je suis loin de chez moi, et j'ai perdu un bout de ma jolie preuve... Alors l'idée: on montre que l'image de exp est ouverte grâce au théorème d'inversion locale (oui, otto) puis qu'elle est fermée (et c'est ça que je n'arrive pas à retrouver) et, comme GL_n(C) est connexe, c'est forcément tout. Si vous rattrappez le fait que c'est fermé, ça me laissera dormir, sinon, on attendra tous le joli mois de Mai quand je rentre à Paris ou sont mes papiers.

Ceci étant dit, il y a une preuve pas trop difficile qui consiste à montrer que tous les blocs de Jordan sont dans l'image, qui se fait en utilisant la série du logarithme qui converge forcément pour une nilpotente!

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C'est bizarre que l'image de l'exponentielle soit fermée.
Si on prend la suite des matrices I/n, chacune de ses matrices est dans l'image et converge vers la matrice nulle qui manifestement n'est pas dans l'image.

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Fermée dans GL_n(C), puisque je veux utiliser la connexité de celui-ci.