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Début de solution?

J'interprète les matrices comme matrices d'applications linéaires d'un certain Rk rapporté à une base vers un certain Rp rapporté à une base, de sorte que les produits matriciels apparaissent comme des matrices de composées.

Je constate que XYZ est diagonalisable, semblable à la matrice M qui a (1,1,0) sur la diagonale . En faisant un changement de base dans R3, je me ramène au cas où XYZ est cette matrice M, ce qui simplifie déjà l'énoncé.

Ensuite, P=YZ est la matrice d'une application linéaire de R3 dans R4. J'ai imposé la base de R3 dans le paragraphe précédent mais j'ai encore le choix de la base de R4. Y et Z  sont de rangs inférieurs ou égaux à 2, donc P aussi. Je choisis la base de R4 de sorte que les 2 dernières lignes de P soient nulles.

Il faut montrer que PX est idempotente, donc que PXPX=PX, donc que PMX=PX.

Peut-être finir par le calcul?

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Ca m'a l'air juste mais bien compliqué

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On peut déjà remarquer que la matrice XYZ est idempotente et de rang 2.

Donc (XYZ)(XYZ)=XYZ puis en multipliant à droite par X: X(YZX)(YZX)=X(YZX)  ⁽¹⁾

Soit u:⁴³, v:²⁴ et w:³² les applications linéaires associées respectivement aux matrices X, Y et Z relativement aux bases canoniques.

p = u o v o w est un projecteur de ³ de rang 2.

2=rg(p)min(rg(u),rg(v),rg(w)).

Comme rg(v)min(2,4)=2 et rg(w)min(2,3)=2, on obtient rg(v)=rg(w)=2  (v est donc injectif et w est surjectif).

En notant u' la restriction de u à Im(v), on voit donc que 2=rg(p)=rg(u') et d'après le théorème du rang, u' est injectif.

D'après ⁽¹⁾, on a : u' o v o w o u o v o w o u = u' o v o w o u

puis par injectivité de u', v o w o u o v o w o u = v o w o u, ce qui prouve que la matrice YZX est idempotente.

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Joli J'ai une preuve qui ne passe pas par les applications linéaires associées, je la soumettrai plus tard !