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Apres y avoir réfléchit 2 minutes, l'ensemble des éléments d'ordre fini engendrant topologiquement S1, il suffit de regarder leur image par le dit morphisme, Il envoie donc un element d'ordre n sur une matrice diagonalisable dont le spectre est des racines n-ième de l'unité. Comme tout ce petit monde commute, on peut tous les diagonaliser dans une meme base. On se ramène donc à étudier les représentations de degré 1 du cercle.

Or un morphisme de S1 dans C^* c'est un morphisme de S1 dans S1, car sinon les elements se barrent vers 0 ou vers l'infini, ce qui ne vas pas car S1 est compact, donc son image aussi. Je posterai la suie quand j'ai le temps (si on connait un peu de théorie des representations, l'exo est facile.)

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Je trouve que les morphismes continus de ce type sont de la forme où les sont des entiers relatifs quelconques et P une matrice complexe inversible quelconque.

Voici comme j'ai abouti à ce résultat :

Tout d'abord, il est évident qu'une telle application définit un morphisme continu de dans

On considère donc un tel morphisme.

Tout d'abord, je commence par m'intéresser à l'image des complexes qui sont des racines de l'unité, c'est-à-dire aux complexes de la forme avec rationnel. Il existe donc un entier m tel que et donc, cela implique que . En particulier, la matrice est diagonalisable (car elle possède un polynôme annulateur scindé à racines simples).

Ainsi, toutes les matrices de la forme avec rationnel sont diagonalisables et leur valeurs propres sont des racines de l'unité (en particulier, elles sont de module 1).

Par ailleurs, ces matrices commutent entre elles (car le groupe des complexes de module 1 est commutatif et donc son image par le morphisme est un sous-groupe commutatif de ) donc ces matrices sont codiagonalisables et il existe donc une matrice inversible P tel pour tout rationnel , est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont des complexes de module 1.

Considérons maintenant un réel quelconque, alors il existe une suite de rationnels qui converge vers . Par continuité du morphisme , converge vers et donc converge vers . Cela entraîne donc que est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont des complexes de module 1. Ainsi, il existe des fonctions définies sur à valeurs dans avec j compris entre 1 et n tel que pour tout réel , . Comme P est inversible et que est un morphisme continu, alors les sont des morphismes continus de à valeurs dans . De plus, ces n fonctions sont -périodiques. On va montrer que pour tout j, il existe un entier tel , ce qui permettra de conclure.


On considère donc f un morphisme continu de à valeurs dans le cercle unité complexe et -périodiques. f est donc une fonction continue, non identiquement nulle et-périodique donc elle possède un coefficient de Fourier non nul et donc il existe un entier k tel que :


Considérons l'intégrale .

Tout d'abord, on a .

Par ailleurs, en effectuant le changement de variable , on obtient :
(car l'intégrale d'une fonction -périodique sur un intervalle de longueur de ne dépend pas de l'intervalle).


On a donc l'égalité pour tout réel . Comme on a par hypothèse, alors on a , d'où le résultat.