Je trouve que les morphismes continus de ce type sont de la forme
=Pdiag(z^{k_1},z^{k_2},...z^{k_n})P^{-1}})
où les

sont des entiers relatifs quelconques et P une matrice complexe inversible quelconque.
Voici comme j'ai abouti à ce résultat :
Tout d'abord, il est évident qu'une telle application définit un morphisme continu de

dans
})
On considère donc

un tel morphisme.
Tout d'abord, je commence par m'intéresser à l'image des complexes qui sont des racines de l'unité, c'est-à-dire aux complexes de la forme

avec

rationnel. Il existe donc un entier m tel que

et donc, cela implique que
^m=I_n})
. En particulier, la matrice
})
est diagonalisable (car elle possède un polynôme annulateur scindé à racines simples).
Ainsi, toutes les matrices de la forme
})
avec

rationnel sont diagonalisables et leur valeurs propres sont des racines de l'unité (en particulier, elles sont de module 1).
Par ailleurs, ces matrices commutent entre elles (car le groupe des complexes de module 1 est commutatif et donc son image par le morphisme

est un sous-groupe commutatif de
})
) donc ces matrices sont codiagonalisables et il existe donc une matrice inversible P tel pour tout rationnel

,
P})
est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont des complexes de module 1.
Considérons maintenant un réel

quelconque, alors il existe une suite de rationnels
})
qui converge vers

. Par continuité du morphisme

,
P})
converge vers
P})
et donc
)})
converge vers
P})
. Cela entraîne donc que
P})
est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont des complexes de module 1. Ainsi, il existe des fonctions

définies sur

à valeurs dans

avec j compris entre 1 et n tel que pour tout réel

,
=Pdiag(\varphi_1(\theta),...,\varphi_n(\theta))P^{-1}})
. Comme P est inversible et que

est un morphisme continu, alors les

sont des morphismes continus de

à valeurs dans

. De plus, ces n fonctions sont

-périodiques. On va montrer que pour tout j, il existe un entier

tel
=e^{i k_j \theta}})
, ce qui permettra de conclure.
On considère donc f un morphisme continu de

à valeurs dans le cercle unité complexe et

-périodiques. f est donc une fonction continue, non identiquement nulle et

-périodique donc elle possède un coefficient de Fourier non nul et donc il existe un entier k tel que :
Considérons l'intégrale
=\Bigint_{0}^{2\pi}f(t)e^{-ik (t-\theta)}dt})
.
Tout d'abord, on a
=e^{ik\theta}\Bigint_{0}^{2\pi}f(t)e^{-ikt}dt})
.
Par ailleurs, en effectuant le changement de variable

, on obtient :
=\Bigint_{0}^{2\pi}f(u+\theta)e^{-iku}du=f(\theta)\Bigint_{-\theta}^{2\pi-\theta}f(u)e^{-iku}du=f(\theta)\Bigint_{0}^{2\pi}f(u)e^{-iku}du})
(car l'intégrale d'une fonction

-périodique sur un intervalle de longueur de

ne dépend pas de l'intervalle).
On a donc l'égalité
\Bigint_{0}^{2\pi}f(u)e^{-iku}du=e^{ik\theta}\Bigint_{0}^{2\pi}f(t)e^{-ikt}dt})
pour tout réel

. Comme on a
e^{-ik t}dt\neq 0})
par hypothèse, alors on a
=e^{ik\theta}})
, d'où le résultat.