Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini.

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Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini.
Posté par 
Nightmare  11-03-08 à 17:24
Bonjour à tous 



Un autre exercice d'algèbre linéaire plus difficile que le précédent :



Citation :
On considère un corps  fini.

1) Montrer que  est cyclique



2) Déterminer tous les morphismes 



A vous de jouer.


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Nightmarere : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  11-03-08 à 23:53
Trop dur? Des indices?
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1 Schumi 1re : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  12-03-08 à 12:00
Salut, 



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1) C'est un grand classique: conséquence de Wedderburn.

Soit  un corps fini. On note  son cardinal de .

Bon, j'admets sans aucun scrupule (je le démontre si tu veux après) que . ( la fonction indicatrice d'Euler).

Je note  le nombre d'éléments d'ordre d dans k.

Comme  est commutatif, le polynôme  a au plus q racines. D'où il vient que .

Mais comme on a clairement  et donc finalement on a .

Finalement, .

Cette dernière égalité exprime bien que  est cyclique.

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Nightmarere : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  12-03-08 à 20:33
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Bien joué  Le deuxième ?
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1 Schumi 1re : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  13-03-08 à 09:20
Jord >>



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Là par contre, je démarre vraiment pas. Un nain dix serait franchement bienvenue. Pas trop gros pour le début. 

Merci. 


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Nightmarere : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  13-03-08 à 18:30
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Déjà trouves-en un morphisme (il y en a un simple) et généralise
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Nightmarere : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  14-03-08 à 22:37
Pas d'idées?
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1 Schumi 1re : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  15-03-08 à 13:17
Euh si, désolé j'étais pas là. J'y réfléchis dans la soirée.



5 you.

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Camélia re : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  15-03-08 à 15:17
Bonjour Nightmare

Juste pour faire remonter ton défi qui est joli!



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 pour 
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Nightmarere : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  15-03-08 à 15:41
Salut Camélia  

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Je suppose que q est le cardinal de K. Dans ce cas là pourquoi se limiter à q-1 ?
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Camélia re : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  15-03-08 à 15:46
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Elever à la puissance q fait l'identité, non? ou je dis encore des bêtises?
 Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  15-03-08 à 16:08
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Ah voui, effectivement, s'il y a des déterminants... Je comprends mieux pourquoi je trouvais rien de chez rien...  Merci en tous les cas pour ce beau défi Jord.



5 you.


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Nightmarere : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  15-03-08 à 16:21
ayoub > 
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Tu n'as pas vu les déterminants? désolé alors !
 Posté par 
Camélia re : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  15-03-08 à 16:34
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Si, si je dis des bêtises. le determinant est non nul, il se trouve dans un groupe cyclique d'ordre q-1, donc c'est pas la peine de prendre q-1. On peut s'arrêter à q-2.
  Posté par 
1 Schumi 1re : Exo défi : Morphismes du groupe linéaire dans un corps fini  15-03-08 à 17:54
Jord >>



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Mais non, tu pouvais pas savoir. Très intéressant en tous cas. Je reverrai quand j'aurai vu les déterminants. 