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Exo défi (niveau facile) : Longueur d'une chaine brisée infinie
Soit g la similitude indirecte d'écriture complexe
On défini la suite de points suivante :
L'affixe du point
est
où
et et
sont des nombres réels.
Il est évident que (c'est enfantin à démontré...). Ainsi le point
"converge" vers l'origine lorsque n tend vers l'infini.
Donc quelque soit l'affixe du point , la longueur de la chaine brisée
lorsque n tend vers l'infini est un nombre réel. La question est donc :
Exprimer la longueur de la chaine brisée lorsque n tend vers l'infini en fonction de
et
J'ai déjà trouver que si alors la longueur recherchée est
(et vice-versa). Mais je n'arrive pas à trouver cette longeur lorsque
et
sont tout deux non-nuls.
J'ai une piste mais je m'embrouille dans les calculs... Je la posterai, plus tard en blanker (pour ceux qui souhaiterai cherché à partir de zéro!)
Bonne recherche!
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Salut lolo et bravo pour ton exo,
Une toute petite remarque : il est faux d'affirmer
Ainsi le point M_n "converge" vers l'origine lorsque n tend vers l'infini.
Donc quelque soit l'affixe du point M_0, la longueur de la chaine brisée M_0M_1M_2...M_{n-1}M_n lorsque n tend vers l'infini est un nombre réel.
On peut trouver des suites de points Mn (différents évidemment de celle de ton exo) qui convergent vers 0 mais pour lesquelles la longueur de la chaîne brisée obtenue tend vers l'infini...
Bonjour erio 
On peut trouver des suites de points Mn (différents évidemment de celle de ton exo) qui convergent vers 0 mais pour lesquelles la longueur de la chaîne brisée obtenue tend vers l'infini...
C'est fort possible mais pas dans le cadre des similitudes non? Tu pourrai donner un exemple s'il te plait...
Non, pas dans le cadre des similitudes, effectivement...
En général, pour avoir un contre-exemple (un exemple qui ne marche pas) pour ce genre de problème, on utilise la série harmonique 
: la somme des inverse 1+1/2+1/3+1/4+1/5... tend vers l'infini.
On peut alors se servir de ça pour construire la suite Mn :
On part de (0,0), on va en (1,0) et on revient en (0,0) (on parcourt un segment de longueur 1 dans les deux sens) puis on recomence mais cette fois-ci en allant de (0,0) jusqu'en (1/2,0) puis retour en (0,0) (segment de longueur 1/2), et ainsi de suite avec un segment de longueur 1/3, 1/4 etc... La suite des points tend bien vers 0, mais la longueur de la chaîne est 1+1+1/2+1/2+1/3+1/3+1/4+1/4+... donc au total on a deux fois la série harmonique, donc ça tend bien vers l'infini.
Si tu veux un exemple qui ne repasse pas par là où il est passé, on peux prendre par exemple la suite de complexes . Ca fonctionne aussi parce qu'à chaque étape, la longueur va décroître comme 1/n et la longueur de la chaîne va bien tendre vers l'infini.
En espérant que ça ne t'embrouille pas l'esprit mais que ça éveille ta curiosité.
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