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Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x

Posté par
Nightmare 09-09-08 à 01:07

Bonsoir à tous

Je vous propose un exercice dont j'ai aucune idée du niveau requis pour la résolution (sup minimum je pense)

Citation :
On considère la suite 3$\rm (\lambda_{n})_{n\in \mathbb{N}} croissante des racines réelles positives de l'équation 3$\rm tan(x)=x.

Montrer que 3$\rm \Bigsum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}}=\frac{1}{10}


Bon courage


jord

Posté par
Nightmarere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 09-09-08 à 19:31

Pas d'idées?

Posté par
orbitale13re : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 09-09-08 à 20:15

Bonsoir

Ouille ouille ouille, bobo à la tête moi

Je suis partie sur une intégration de fonction, alors soit je n'ai pas le bon domaine, soit pas encore déterminer la bonne fonction, mais en tout cas, va falloir que j'aille me procurer un autre stock de feuilles de brouillon

En fait pour l'heure, je fuse dans des directions un peu diverses et variées, un équivalent à l'infini de n qui ne me sert pas à grand-chose, pour le moment en tout cas

Bref, le moindre indice serait le bienvenu

Posté par
Nightmarere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 09-09-08 à 20:37

Salut

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amatheur22re : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 10-09-08 à 01:32

Bonsoir,

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orbitale13re : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 10-09-08 à 15:43

Bonjour,

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Posté par
Nightmarere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 10-09-08 à 18:40

Désirez vous une preuve ?

Posté par
orbitale13re : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 10-09-08 à 21:52

Je veux bien en effet

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Posté par
Nightmarere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 10-09-08 à 21:58

Re

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Posté par
Nightmarere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 12-09-08 à 00:08

Du neuf?

Posté par
JJare : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 12-09-08 à 16:59

Bonjour,

sans vouloir déflorer le défi gancé par Nightmare, voici quelques formules, pour information :

Exo défi, niveau inconnu > Racines de l\'équation tan(x)=x

Posté par
amatheur22re : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 13-09-08 à 02:25

Bonsoir JJa
Bonoir tt le monde
Aurais-tu une démonstration de ces résultats? ce serait plus intéressant.

Posté par
JJare : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 13-09-08 à 10:11

Bonjour amatheur,

certes, les démonstrations intéresseraient ceux qui ne les connaissent pas. Mais ce serait infiniment moins intéressant pour celui qui devrait les dactylographier : D'autant plus que je ne suis pas sûr qu'elles passent sur le forum en raison de leur volume !
Simples indications :
- Pour les démonstrations des sommes de puissances paires des inverses, Nightmare a déjà donné des indices sur la méthode. Aller plus loin serait nuire au défit qu'il a lancé, ce que je veux éviter.
- Pour le calcul des coefficients de la formule donnée pour l'approximation des racines, après avoir fait le changement d'inconnue x = (alpha+(1/2))*pi, ce qui ramène à la cotangente, on procède par itérations sur le développement en série de la cotangente au voisinage de alpha=0, ce qui donne les coefficients les uns après les autres.

Posté par
Nightmarere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 13-09-08 à 13:46

Merci JJa pour les généralisations très intéressantes

Quelqu'un a-t-il trouvé la preuve utilisant l'analyse complexe avec mon indice? (En dehors de JJa évidemment )

Posté par
amatheur22re : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 13-09-08 à 19:27

Bonjour,

Si la résolution de ce problème doit inévitablement utiliser l'analyse complexe(fastidieuse donc si j'ai bien compris):C'est frustrant!
J'ai l'impression que notre problème n'interesse pas grand monde (à en juger par le nombre très réduit des intervenants).J'espère que la prochaine intervention de l'excellente orbitale13 soit fructueuse.Sinon j'attendrai gentiment que quelqu'un nous surprenne avec autre chose que la compliquée analyse complexe.

Posté par
miltonre : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 14-09-08 à 14:00

bonjour
il suffit de montrer que
n*pi*racin(5/3)<v(n)<(2n+1)*pi/2 si n>=1
v(n) la solution de tanx=x / npi<v(n)<(2n+1)pi/2
la suite est facile

Posté par
Camélia Correcteurre : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 14-09-08 à 15:32

Bonjour

J'ai compris assez vite que la solution de Nightmare passait par la théorie des résidus et j'avoue avoir eu la flemme de faire les calculs. J'ai donc tenté autre chose. Une méthode pour calculer des choses du genre [tex]\sum b_n^2[/tex ]qui des fois marche, consiste à trouver (où à prouver l'existence) d'une fonction dont les bn sont les coefficients de Fourier et d'appliquer le théorème de Parseval-Bessel.

Je n'y suis pas arrivée, aucune des conditions suffisantes (mais non nécessaires) sur les bn que je connaisse n'est vérifiée par 1/ n. Alors, question aux spécialistes: Existe-t-il une telle fonction? Si oui, permet-elle le calcul de la somme?

Posté par
Nightmarere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 15-09-08 à 18:52

Très intéressant Camélia

J'ai cherché de mon côté en utilisant ta méthode et je ne trouve pas non plus Je ne veux pas admettre qu'un énoncé pourtant si "simple" n'admet pas de preuve moins compliquée que par les résidus!

Posté par
miltonre : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 15-09-08 à 20:12

bonjour
soit pi=a c'est parce que j'ai un gros mal à utiliser le latex
soit
u_n la racine de tanx=x  / n   (5/3) u_n  n + /2
on a alors un encadrement de  1/u_n^2

Posté par
miltonre : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 15-09-08 à 20:55


posons (2n+1) /2= s_n et n \sqrt{5/3} =v_n
1/s_n^2 1/u_n^2 1/ v_n^2
     /s_n^2 0,8/(2n-1)^2
excuser moi si j'ecris ;c'st que je n'arrive pas à écrire pi carré correctement

Posté par
miltonre : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 15-09-08 à 21:21

\sum_{i=1}^n 1/(2i+1)^2= /8 en infini

Posté par
Nightmarere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 16-09-08 à 13:32

Je n'ai pas tout compris milton, à vrai dire j'ai du mal à déchiffrer...

Voici la solution passant par la théorie des résidus :

On considère la fonction méromorphe 3$\rm f : z\to \frac{1}{z-tan(z)}-\frac{1}{z} et le contour 3$\rm \Gamma_{R} défini par :

3$\rm \mathsc{Re}(z)=n\pi, \mathsc{Re}(z)=-n\pi\;avec\;\mathsc{Im}(z)\in[-n,n]
et
3$\rm \mathsc{Im}(z)=n, \mathsc{Im}(z)=-n\;avec\; \mathsc{Re}(z)\in [-n\pi,n\pi][/blank]

---------------------------------------------------

Le Théorème des résidus donne : 4$\rm \frac{1}{2i\pi} \Bigint_{\Gamma_{R}} f=\Bigsum_{\lambda \in \Lambda} \mathsc{Res}\(f,\lambda\) où 3$\rm \Lambda est l'intersection de l'ensemble des pôles de f et du rectangle.

On va maintenant calculer les résidus.

3$\rm \frac{d}{dz} (z-tan(z))=-tan^{2}(z) qui ne s'annule pas en les autres pôle que 0.

On a alors 4$\rm \mathsc{Res}(f,\lambda_{k})=-\frac{1}{tan^{2}(\lambda_{k})}=-\frac{1}{\lambda_{k}^{2}} (on y arrive !)


Par conséquent, 4$\rm \mathsc{Res}(f,0)-2\Bigsum_{1\le k\le n-1} \frac{1}{\lambda_{k}^{2}}=O\(\frac{1}{n}\)

Calculons le résidu en 0 :

3$\rm tan(z)=z+\frac{z^{3}}{3}+\frac{2}{15}z^{5}+z^{7}\epsilon(z) (avec 3$\rm \epsilon holomorpe au voisinage de 0)

Je vous passe les calculs, on a :
3$\rm \frac{1}{z-tan(z)}=-\frac{3}{z^{3}}+\frac{6}{5z}+\hat{\epsilon}(z) (avec 3$\rm \hat{\epsilon} holomorphe au voisinage de 0)

Au final on obtient que 3$\rm \mathsc{Res}(f,0)=\frac{1}{5}

On a donc 4$\rm O\(\frac{1}{n}\)=\frac{1}{5}-2\Bigsum_{1\le k\le n-1} \frac{1}{\lambda_{k}^{2}} et le résultat découle en faisant tendre n vers l'infini.


Jord

Posté par
Nightmarere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 16-09-08 à 19:32

Jolie démonstration proposée sur un autre forum :

3$\rm sin(x)-xcos(x)=x^{3}\(\frac{1}{3}-\frac{x^{2}}{30}+...\)
Alors
3$\rm tan(x)=x\Leftrightarrow \frac{1}{3}-\frac{x^{2}}{30}+...=0
et les 3$\rm \lambda_{n}^{2} sont solutions de 3$\rm \frac{1}{3}-\frac{x}{30}+...

On a alors 3$\rm \Bigsum_{n\ge 0} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}}=-\frac{-\frac{1}{30}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{10}

Posté par
miltonre : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 16-09-08 à 21:05

bonsoir
est il possible d'ecrire pi carré sur ce forum?

Posté par
miltonre : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 16-09-08 à 21:27

on pose  \lambda_n la solution de tanx=x  telle que n \sqrt{\frac{5}{3}}   \lambda_n (n+\frac{1}{2})
en suit
(\frac{2}{\pi(2n+1)})2 (\frac{2}{\pi(2n-1)})2\frac{1}{5}
le reste il suffit de sommer sur de 1 à infini

Posté par
miltonre : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 17-09-08 à 11:58

\Bigsum_{n=1}^\infty~\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}et
\Bigsum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} donc les sommes de 1 à +\infty des deux suites qui bornent \frac{1}{\lambda_n^2} convrege vers \frac{1}{10}

Posté par
Nightmarere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 17-09-08 à 13:22

très joli Bien joué milton!

Posté par
miltonre : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 18-09-08 à 12:48

bonjour
qu'en est il pour les racine negatives de  tanx=x?

Posté par
barbidulere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 29-09-08 à 13:21

Nightmare a dit :

Citation :
très joli Bien joué milton!


Pour ma part, je ne comprends rien à la preuve de milton

Posté par
barbidulere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 30-09-08 à 13:18

Sérieusement, quelqu'un peut-il m'expliquer en détails la solution de milton ? Merci.

Posté par
miltonre : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 30-09-08 à 13:43

bonjour
dis moi là ou ça ne va pas

Posté par
barbidulere : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 02-10-08 à 10:55

Citation :
dis moi là ou ça ne va pas


Déjà ta définition de n... Il n'y a pas unicité.

Ensuite, on voit mal comment un encadrement du terme général d'une série, pourrait permettre d'appliquer le théorème des gendarmes.

Posté par
Valvinore : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 21-05-09 à 18:30

Désolé de faire remonter ce vieux topic, mais je ne comprends pas comment Nightmare passe de la ligne
"les \lambda_n^2 sont racines de \rm \frac{1}{3}-\frac{x}{30}+..." à la ligne "On a alors \rm \Bigsum_{n\ge 0} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}}=-\frac{-\frac{1}{30}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{10}".

Merci de votre aide!

Posté par
gui_toure : Exo défi, niveau inconnu > Racines de l'équation tan(x)=x 21-05-09 à 19:21

Salut Valvino,

C'est pas sympa d'avoir découvert mes sources

Ce serait pas dû aux relations coeff racines, ou aux sommes de Newton ?


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