Alors personne?

Bonsoir Montereau !
Si (en tant que term), j'ai un peu réfléchi (pas trop de temps), mais je bloque vraiment (aucune idée de la technique).
Dur ! dur ! Juste une petite intuition :

 Cliquez pour afficher

Je pense que sort de la somme des combinaisons d'un ensemble à 2010 éléments.

Bonjour mato ,

 Cliquez pour afficher

Essaies la récurrence

Ben voyons, pourquoi pas non plus "exo défi première section de maternelle" ?

p.s. Bonjour à Moumbo

Sérieux, je suis preneur d'une démo niveau 1S

 Cliquez pour afficher

Personnellement, je parviens à résoudre ce problème grâce à la formule que j'obtiens (rapidement) avec les polynômes interpolateurs de Lagrange ou (en bourrinant) par récurrence.

En tant qu'élève de term s, voici mon approche :

 Cliquez pour afficher

Soient les coefficients du polynôme P.

Pour x positif ou nul, on a:


Donc pour x dans [0;2009] on a : (ou k est un entier tel que )

En particulier pour x=1, on a (ou k est un entier tel que )

Autrement dit, (ou k est un entier tel que )

donc de même, (ou k est un entier tel que )



D'après l'inégalité démontré 2 lignes au dessus on en déduit que

Or, 2009 est plus petit que donc ça marche!

Excusez-moi, je me suis rendu compte que ma démonstration précédente était fausse

Voici une autre idée de démonstration, j'espère que c'est ok c'est fois ci...

 Cliquez pour afficher

On peut démontré plus généralement pour tout entier naturel n (zéro compris) :

si P est un polynôme de dégré n tel que pour tout x de [0;n] on a alors

Voici une démonstration par récurrence (je vous passe l'initialisation pour n=0...) :

Soit P un polynôme de dégré n tel que pour tout x de [0;n] on a
Soit P' un polynôme de dégré (n+1) tel que et qui vérifie pour tout x de [0;n+1] l'inégalité
On doit démontré que si alors

Pour tout x de [0;n] on a
De même, pour tout x de [0;n+1] on a
Donc pour tout x de [0;n] on a
Or, pour tout réel x,
Donc, pour tout x de [0;n] on a
En particulier pour x = 1, on a

Or,
donc
donc
Or, pour tout entier naturel n,
Donc P'(-1) \le 2^{n+1} - 1

CQFD!

@lolo248 :

 Cliquez pour afficher

Non, hélas, tu ne démontres rien du tout. Ta récurrence est pour le moins étrange.

Note : la notation P' est traditionnellement réservée au polynôme dérivé de P.

Allez, finalement, voilà une démo accessible à un (bon) élève de TS :

 Cliquez pour afficher

On raisonne par récurrence pour démontrer, pour n>0, la proposition :
P_n : Si deg(P)=n et sur [0;n] alors .

Je vous laisse l'initialisation

Supposons que P_n soit vraie pour un certain n>0 ;

Soit P un polynôme de degré n+1 tel que sur [0;n+1].
On va pouvoir appliquer l'hypothèse de récurrence au polynôme qui est de degré n et qui vérifie sur [0;n] (facile à prouver).
Cela permet d'établir que et donc que  . Et comme , cela entraîne que P_n+1 est vraie.

Note : dans ma démo il y un "<" qui doit être remplacé par un ""

Content de te revoir, blang