Bonsoir,

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si f vérifie les hypothèses,f est bijective continue donc strictement monotone,donc sa composée est croissante. Or ceci  est impossible car fof=-Id est décroissante.

J'ai trouvé! (content de ma trouvaille! )

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f(x)=sign(-x)|x|

En effet, f(x)(rond)f(x)=sign(sign(-x)|x|)*| sign(-x)|x| |=sign(sign(-x))*|x|=sign(-x)|x|.

Si x>0 alors f(x)=-x
Si x<0 alors f(x)=-x

Bingo!

Cauchy>>

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Pourquoi la fonction devrait être bijective? Et même si c'est le cas, elle n'est pas forcément continue, donc pas forcément monotone...

Excuse Cauchy, pardon, j'ai mal lu. Elle est effectivement continue. Mais pourquoi bijective?

Ma fonction est-elle valable?

Non, j'ai tout faux, jvais me coucher.

A+

Rebonjour,

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J'ai une fonction continue f définie par: f(x)=|x| sur ]-infini;0] et f(x)=-|x| sur ]0;+infini[.

Sur ]-infini;0], f(f(x))=||x||=|x|=-x

Sur ]0;+infini[, f(f(x))=-|-|x||=-||x||=-|x|=-x

Voilà .

Sauf erreur.

Justin :

(1)

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la fonction que tu proposes est tout simplement f telle que f(x)=-x, non ? (on peut faire sauter les valeurs absolues selon le signe de x)

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En appliquant ta définition, sur ]-oo;0], f(f(x))=-||x|| et non pas ||x||. En effet, f(x)=|x| est positif

Nicolas, merci pour ta réponse:

>> (1)

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Je suis d'accord, c'est complètement faux

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Si tu fais référence au post de 3h23 je ne suis pas d'accord. Sur ]-oo;0], f(x)=|x| donc f(f(x))=f(|x|)=||x||=|x|=-x car x<=0

J'ai un peu du mal avec les valeurs absolues et compagnie.

(2)

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J'applique ta définition f(y)=-|y| si y appartient à [0;+oo[.
Quand x appartient à [-oo;0[, y=f(x)=|x| appartient à [0;+oo[
Je remplace donc y par f(x) dans la première ligne :
Quand x appartient à [-oo;0[, f(f(x)) = -|f(x)| = -||x||
En effet, quand on veut exprimer f(f(x)), c'est le signe du f(x) à l'intérieur qui compte, pas le signe de x.

Effectivement Nico, aie aie aie.

La fonction n'est pas obligatoirement bijective, si?

Non, ma démo est fausse. Je renonce.

Justin >

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Oui de toute façon f n'est pas forcément dérivable.

Une explication de la solution de

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(qui est la bonne) :

fof=-Id. Or la fonction -Id est bijective donc fof est bijective d'où f est bijective. Or, une application continue et bijective (même injective suffit) est strictement monotone.
Ainsi fof est strictement croissante. Or fof=-Id strictement décroissante. Contradiction.

Merci pour les précisions. Pourquoi f(f(x)) bijectif implique f(x) bijectif?

Salut

Je propose :

Il y a un problème pour x=1,fof(1)=1.

On y était presque

Oui j'ai pensé à la même chose

En fait je voulais faire comme toi et ensuite déterminer les valeurs de f en 0,1,-1 et le problème est donc que fof(0)=0,fof(1)=-1,fof(-1)=1.

Mais il n'existe pas de f permutant 0,1 et -1 remplissant ces conditions.

Nofutur2 >>

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Mais alors f(f(-1))=f(2)=1

Bonjour à tous

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Ca n'existe pas! Comme f o f=-Id, f est bijective. Une fonction bijective continue est strictement monotone et alors f o f est strictement croissante ce qui n'est certainement pas le cas de -Id.

Salut Camélia Nous cherchons une fonction non continue vérifiant cette propriété.

Je pense avoir trouvé!

En m'inspirant de l'idée de Nofutur2 voici ce que je propose:

Attention.

Ici f(1)=-2 car 1 appartient à l'ensemble que j'ai donné. Justement, j'ai essayé de faire en sorte qu'il n'y ait aucun doublon.

C'est une fonction un peu "exotique", mais elle m'a l'air correctement définie.

En fait, comme 1 appartient à l'ensemble nous avons:

f(1)=-2
f(-2)=-1
f(-1)=2
f(2)=1

Pour trouver f(1)=1/2 avec la deuxième ligne tu as pris k=-1/2 mais -1/2 n'appartient pas à l'ensemble que j'ai spécifié, donc ce n'est pas valable.

Cette fonction telle qu'elle est définie n'a aucun sens... Comment savoir quelle ligne prendre pour calculer f(1/2) par exemple? Faut-il prendre la première avec k=1/2 ? La seconde avec k=-1/4 ?

Bonjour

Il me semble que j'en ai trouvé une.
En reprenant l'idée de Nightmare mais en repoussant le problème à l'infini, on arrive à une fonction ayant un nombre dénombrable de discontinuités mais qui semble marcher :

f est la fonction impaire, définie sur R+ par


(oui, je sais, c'est indigeste, mais j'ai pas trouvé mieux )

Vérification :
Pour 0, ça marche.
Pour un entier naturel pair n, on a n = 2k, donc f(f(n)) = f(f(2k)) = f(-(2k-1)) = -f(2k-1) = -2k = -n
Pour un entier naturel impair n, on a n = 2k-1, donc f(f(n)) = f(f(2k-1)) = f(2k) = -(2k-1) = -n
Pour un inverse d'un entier naturel pair n, on a n=1/(2k), donc f(f(n)) = f(f(1/(2k))) = f(1/(2k+1)) = -1/(2k) = -n
Pour un inverse d'un entier naturel impair n, on a n=1/(2k+1), donc f(f(n)) = f(f(1/(2k+1))) = f(-1/(2k)) = -f(1/(2k)) = -1/(2k+1) = -n
Pour un réel positif x non entier strictement supérieur à 1, on a f(f(x)) = f(1/x) = -1/(1/x)) = -x
Pour un réel positif x non inverse d'un entier et compris entre 0 et 1, on a f(f(x)) = f(-1/x) = -f(1/x) = -x
Enfin, pour un réel négatif, f(f(x)) = f(-f(-x)) = -f(f(-x)) = -x

CQFD !  (sauf erreur)

Fractal

Bon, je me suis mal exprimé apparemment:

Si alors

Si alors

Si alors

Si alors

P.S. Nofutur2, on est sur l'île ici.

J'ai oublier des signes moins:

Si alors

Si alors

Si alors

Si alors