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Arf, je connais le premier: c'est un polynôme. Le mieux, c'est de le voir avec Cauchy: ||f_n_-f_m||<1 à partir d'un certain n donc en fait f_n-f_m est constant. On fixe le n et on fait tendre m vers +oo. Vu que la limite d'une suite de fonction constante a la bonne idée de l'être aussi, on conclut: f est une fonction polynôme.

Je réfléchis au 2) et au 3).

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2) Le sens <== est immédiat. En effet, soit e>0.
Il existe un rang à partir duquel ||f-f_n||<e/3.
f_n est uniformément continue sur ]a,b[ donc il existe u>0 tel que |x-y|<u imposent |f_n(x)-f_n(y)|<e/3
Mais alors pour |x-y|<u on a |f(x)-f(y)|<|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-f(y)|=e.
f est uniformément continue.

Pour ==>, ça se corse.
L'idée c'est de ramener à Stone Weierstrass sur un segment, donc ça serait bien si on pouvait prolonger continuement f sur [a,b].
Ben vu qu'elle est uniformément continue, c'est possible. On montre, en utilisant que toute suite convergeant est de Cauchy et Heine, que pour toute suite (x_n) de ]a,b[ qui convergent vers b f(x_n) converge également dans R et que la limite ne dépend pas de la suite (x_n) que l'on prend (plus compliqué).
Donc f se prolonge bien.

Au propre maintenant.
Soit (x_n) une suite de ]a,b[ qui converge vers b.
Soit e>0. Il existe u>0 tel que... ...
Vu que (x_n) convergent, elle vérifie le critère de Cauchy, donc à partir d'un certain n₀ on a pour m>n>n₀ |x_m-x_n|<u.
Alors |f(x_m)-f(x_n)|<e et (f(x_n)) converge vers l_x.

Soit e>0.
Il s'agit de prouver que l_x ne dépend pas de la suite x que l'on prend.
Pour cela on prend deux suites x=(x_n) et y=(y_n) qui tendent toutes deux vers b.
Alors il existe m à partir duquel |l_x-f(x_n)|<e/3; |l_y-f(y_n)|<e/3; |x_n-b|<u/2 et |y_n-b|<u/2.
Alors |l_x-l_y|<|l_x-f(x_n)|+|f(x_n)-f(y_n)|+|f(y_n)-l_y|<...<(2/3+1)e (flûte, j'ai mal calculé mon coup!).

Donc f se prolonge à une application continue sur [a,b] et on applique Stone Weierstrass.

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Pour <= elle est passée où ta norme infinie? En plus il me semble que ton u dépend de n !

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3) Une idée seulement...
On note .
Si on prouve que la série \sum a_n est absoluement convergente, c'est gagné; c'est pas très compliqué de voir une suite de polynômes qui va converger uniformément vers f.
Pour ça, ça serait bien qu'on puisse par exemple montrer que f a un rayon de convergence strictement supérieur à 1, ce qui réglerait aussitôt la question.
Le problème, c'est que je ne vois pas du tout pourquoi ça serait vrai... outre le fait que j'ai jamais vu de fonction qui convergeait partout sur le cercle d'incertitude (on se convainct comme on peu ).

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Quelle norme infinie?

Oui, bien sûr, u dépend de n mais c'est pas un problème vu que je fixe un n tel que...
J'ai besoin de revenir à la suite pour m'appuyer sur une fonction uniformément continue qui me permet de passer de x à y.
Mais ce que je dis, c'est que le u qui convient pour un certain f_n convient également pour f.

Où le le bug?

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La convergence uniforme te donne qu'il existe un rang N à partir du quel, pour tout x, .

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On doit mal se comprendre. Je refais <==

Soit e>0.
Il existe n à partir duquel ||f-f_n||<e/3.
Prenons désormais un tel n.
f_n est uniformément continue sur ]a,b[ donc il existe u>0 tel que |x-y|<u impose |f_n(x)-f_n(y)|<e/3.
Posons t=u.
Soit (x,y)€]a,b[². Supposons |x-y|<t.
Alors |f(x)-f(y)|<|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-f(y)|<e/3+e/3+e/3=e.

Donc f est uniformément continue.

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Qu'est-ce qui t'assure la continuité uniforme des f_n sur ]a,b[? Sur [a,b] d'accord, mais sur ]a,b[, ça se discute !

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Ben ce sont des polynômes, ils sont uniformément continus sur [a,b] donc a fortiori sur ]a,b[.

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Oui, sauf si au moins l'un des deux est infini

Cependant je pense qu'on se restreint à a et b réels, dans ce cas là c'est bon.

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Cependant je pense qu'on se restreint à a et b réels, dans ce cas là c'est bon. >> Sinon le résultat est faux d'après 1) (faut adapter un peu, mais ça marche).

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Ok, alors c'est bon La deuxième partie aussi. Bon courage pour les deux autres

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Je comprends même pas l'énoncé du 4)...

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Algébriste va !

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Bon, j'y ai réfléchi. Je voulais montrer que si on écrit que alors la série des a_n étaient absoluement convergente, mais je vois pas du tout pourquoi ça serait vrai.
Pour résumer ce que je viens de dire: un nain dix, stp.

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On travail sur un compact, tu peux donc utiliser la continuité uniforme de f

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Je comprends rien à l'énoncé, je suis mal parti pour le démontrer... J'exagère un peu, je comprends chaque mot pris séparemment, mais je vois mal comment je pourrais aboutir au résultat... (Possible sans analyse complexe? Parce que je débute seulement en analyse complexe et vu le nombre d'étoiles ça risque d'attendre un moment si on peut pas faire sans... ).

_{(Arf, j'ai pas mis ma solûce mais ton nain dix pour la 3 m'a permis d'y répondre).}

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Euh, sans analyse complexe je ne crois pas Mais le résultat n'est pas trivial, sans indication c'est très difficile (d'où les étoiles )

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Je vais m'arrêter là alors, tant pis... Merci pour les 2) et 3), ils étaient plutôt sympas.