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Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive

Posté par
Nightmare 15-10-08 à 17:29

Salut tout le monde

Voici un exercice frustrant que j'ai retrouvé en rangeant (une fois n'est pas coutume) mes feuilles :

Citation :
Montrer que la matrice 3$\rm A=\(\frac{1}{1+|i-j|}\)0\le i,j\le n est symétrique définie positive


Courage.

Posté par
Nightmarere : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 16-10-08 à 19:18

Une idée?

Posté par
raymond Correcteurre : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 17-10-08 à 10:30

Bonjour.

J'ai tenté de décomposer la forme quadratique par la méthode de Gauss pour voir si l'on ne tombait pas sur un "objet"

spécial, sans grand succès.

Je continue à chercher.

Posté par
Nightmarere : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 17-10-08 à 14:16

salut Raymond

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Posté par
jandri Correcteurre : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 22-10-08 à 21:51

Bonjour,

Il me semble que l'exercice est un peu difficile sans indications!
J'ai trouvé deux solutions "dans les livres", les deux faisant intervenir des séries de Fourier.
J'ai alors cherché une solution restant dans le cadre de l'algèbre et j'en ai trouvé une (à une petite intégration près); voici une indication pour démarrer:

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Posté par
Nightmarere : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 23-10-08 à 01:13

Salut jandri

Oui sans indication c'est un peu difficile mais bon, les gens du forum ne sont pas n'importe qui

Posté par
karimre : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 24-10-08 à 09:45

Slt à vous,
je ne comprend vraiment pas comment vous démontrez que la matrice de terme général bi,j= r^|i-j| est symétrique définie positive ?
Je ne vois vraiment pas ce que c'est la méthode de Gauss .
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
karimre : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 24-10-08 à 09:45

En fait,Quelle est la forme quadratique associée à B ?

Posté par
jandri Correcteurre : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 25-10-08 à 12:27

Bonjour karim,

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Posté par
Fradelre : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 25-10-08 à 12:52

Bonjour à tous,


Joli ton exercice Nightmare ; ça fait trois jours qu'il me prend la tête et j'ai toujours rien trouver de satisfaisant. Peut-être que ce week-end ...

Posté par
jandri Correcteurre : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 25-10-08 à 13:46

Une petite correction à ce que j'ai écrit: la méthode de Gauss n'est plus au programme de spé MP depuis 2004. Elle a été abordée cette année sur l'ile:
https://www.ilemaths.net/sujet-decomposition-de-gauss-d-une-forme-quadratique-198973.html

Posté par
Nightmarere : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 30-10-08 à 22:04

Désirez vous une correction?

Posté par
Fradelre : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 02-11-08 à 15:37

Bien volontier,

je n'ai pas été très loin. J'ai essayé sans succès une récurrence , j'ai essayé de faire le lien avec les matrices de Hilbert , mais rien n'a aboutit. Alors, je serai curieux de voir.

Merci d'avance.

Posté par
Nightmarere : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 03-11-08 à 14:14

CORRECTION


Considérons l'application 3$\rm f : x\to \Bigsum_{n\in \mathbb{Z}} \(\frac{1}{|n|+1}e^{2i\pi nx}\)

Un petit calcul donne :
3$\rm f(x)=1+2\Bigsum_{n\ge 1} \frac{cos(2\pi n x}{n+1}. Cette dernière série converge uniformément sur tout compact de ]0,1[ donc f est continue sur ]0,1[.

On démontre que :
3$\rm f(x)=-1-2cos(2\pi x)log(2sin(\pi x))+\pi(1-2x)sin(2\pi x)
puis que
3$\rm \forall x\in ]0,1[, f(x)>0.

Alors 3$\rm \Bigint_{0}^{1} |f(x)|dx et 3$\rm \Bigint_{0}^{1} |f(x)|^{2}dx sont convergentes.

On considére p entier relatif et 3$\rm \delta\in ]0,1[. Par convergence uniforme de la série sur 3$\rm [\delta,1-\delta] :

3$\rm \Bigint_{0}^{1} f(x)e^{-i2p\pi x} dx=\Bigsum_{n\in \mathbb{Z}} \Bigint_{\delta}^{1-\delta} \frac{e^{2in\pi x-2ip\pi x}}{|n|+1}dx+\Bigint_{0}^{\delta} f(x)e^{-2ip\pi x}dx+\Bigint_{1-\delta}^{1} f(x)e^{-2ip\pi x}dx.

Et on a :
3$\rm \Bigsum_{n\in \matbb{Z}} \Bigint_{\delta}^{1-\delta} \frac{e^{2i\pi x(n-p)}}{|n|+1}xdx=\frac{1-2\delta}{|p|+1}+\Bigsum_{n\in\mathbb{Z}\\n\no=p} \frac{1}{|n|+1}\times \frac{1}{2\pi i(n-p)}\times \[e^{2i\pi (1-\delta)(n-p)}-e^{2i\pi \delta(n-p)}\].

On a convergence normale de la série du second membre. De plus, vu que f est absolument intégrable sur [0,1] :
3$\rm \lim_{\delta\to 0} \Bigint_{0}^{\delta} f(x)e^{-2ip\pi x}dx=\lim_{\delta\to 0} \Bigint_{1-\delta}^{1} f(x)e^{-2ip\pi x}dx=0

Et on en déduit :
3$\rm \Bigint_{0}^{1} f(x)e^{-2ip\pi x}dx=\frac{1}{|p|+1}.

----------------------------------------------------------------------------------

On considère maintenant le 3$\rm \mathbb{R}-ev est fonctions continues sur [0,1].
La famille 3$\rm (e^{2ip\pi x})_{p\in \mathbb{Z}} est libre.

L'application 3$\rm (u,v)\to \Bigint_{0}^{1} u(x)v(x)f(x)dx définie un produit scalaire et on a pour tout p et m relatifs :
3$\rm \(e^{2ip\pi x}|e^{2im\pi x}\)=\frac{1}{1+|m-p|}.

La matrice que l'on étudie est donc la matrice d'un produit scalaire dans une base convenable, elle est par conséquent définie positive.

Posté par
Fradelre : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 03-11-08 à 15:42

Merci Nightmare  

j'ai parcourru ton post et le lirai attentivement ce soir ou demain. De toute évidence, je n'étais pas du tout dans la bonne direction

Posté par
jandri Correcteurre : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 03-11-08 à 17:16

Bonjour,

La démonstration proposée par Nightmare figure dans le Leichtnam algèbre page 255 (avec la même petite erreur dans la définition du produit scalaire, il faut conjuguer u(x)). Il y a une autre démonstration dans le Meunier (agrèg interne de math tome 1 page 233), utilisant à la place de f(x) le noyau de Poisson g(x)=\Bigsum_{n\in%20\mathbb{Z}}%20r^{n}e^{2i\pi%20nx}\; elle montre que les valeurs propres de A sont supérieures à 2log(2)-1.
Une démonstration plus simple consiste à montrer que pour 0 est définie positive; en appliquant la méthode de Gauss on obtient Q(x)=(x_0+rx_1+...+r^nx_n)^2-r^2(x_1+rx_2+...+r^{n-1}x_n)^2+\Bigsum_{1\le i,j\le n}r^{|i-j|}x_ix_j
puis Q(x)=(x_0+rx_1+...+r^nx_n)^2+(1-r^2)(x_1+rx_2+...+r^{n-1}x_n)^2-r^2(x_2+rx_3+...+r^{n-2}x_n)^2+\Bigsum_{2\le i,j\le n}r^{|i-j|}x_ix_j
d'où par récurrence Q(x)=(x_0+rx_1+...+r^nx_n)^2+(1-r^2)\Bigsum_{k=1}^n(x_k+rx_{k+1}+...+r^{n-k}x_n)^2 qui est positif ou nul, nul ssi x=0.
En intégrant de 0 à 1 on obtient \Bigsum_{0\le i,j\le n}\fr{x_ix_j}{1+|i-j|}=\int_0^1 Q(x)dr\ge0 et nul ssi Q(x)=0 c'est à dire x=0.

Posté par
Nightmarere : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 03-11-08 à 18:40

Salut Jandri

dans le LEICHTNAM ? C'est une correction de TD a priori faite par mon moniteur, je ne savais pas qu'il plagiait les grands livres

Posté par
ottore : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 05-11-08 à 15:50

Je m'intéresse un peu à ces questions là, je me demande si on peut avoir des résultats du même genre en changeant la définition de la matrice.
Par exemple, si j'ai une suite de compacts Ei tels que diam(Ei,Ei+1) est constant ou si d(Ei,Ei+1) est constant, est ce qu'on aura un résultat similaire avec la matrice Aij=diam(Ei,Ej) ou Bij=d(Ei,Ej).

Posté par
jandri Correcteurre : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 05-11-08 à 16:38

Bonjour,

Si on prend comme compacts trois points formant les sommets d'un triangle équilatéral, on a d(Ei,Ei)=0 et d(Ei,Ej)=1 si ij. La matrice associée n'est pas positive (-1 est valeur propre double). Même matrice avec Aij=diam(Ei,Ej).

Posté par
ottore : Exo défi Spé> Matrice symétrique définie positive 05-11-08 à 18:12

Ok, merci.
Je n'ai pas réfléchi avec autant de généralité mais je travaille sur des problèmes qui sont de cette nature et il se trouve qu'à chaque fois on remarque que l'on a une matrice définie positive mais on ne sait pas l'expliquer. Je suis donc très interessé par ce sujet, je suis sur qu'il y'a quelque chose à trouver moyennant des hypothèses convenables

En fait en adaptant la démonstration de Nightmare dans un des cas qui m'intéresse j'ai montré le fait que la matrice était définie positive. Je me demande quelles sont les bonnes hypothèses à demander sur les coefficients de la matrice et donc quelles hypothèses topologique je dois imposer dans le cas qui m'intéresse.

Merci,
a+


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