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J'appelle l'intervalle I pour éviter la confusion des notations. Supposons que y ait une infinité de zéros. Comme on est dans un compact, il existe une suite de zéros distincts (x_n) qui converge vers un z (BW) qui est lui aussi un zéro de y. Le théorème de Rolle assure l'existence d'un x'_n entre x_n et x_n+1 tel que y'(y_n)=0, et la suite (y_n) tend vers le même z. On a donc y(z)=y'(z)=0 et l'unicité des solutions à condition imposée assure que y est la fonction nulle.

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Je suppose que ton y_n est en fait ton x'_n, c'est joli et assez simple.

Pour ma part j'avais simplement montré que les zéros étaient isolés puis j'ai conclu avec le théorème de Borel-Lebesgue

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Raconte-moi quand même comment tu fais pour les zéros isolés; je n'y suis pas arrivée avec C² seulement.

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On montre avec le théorème d'unicité de cauchy que si x annule y alors il n'annule pas y'.

On écrit alors le Dl à l'ordre 1 de y : . Les zéros de y sont donc isolés.

L'ensemble des zéros est compact et ses points sont isolés. De plus de tout recouvrement par des ouverts de cet ensemble on peut extraire un sous-recouvrement fini (Borel-Lebesgue). Conclusion : l'ensemble des zéros est fini.

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C'est à peu près le même raisonnement à partir du théorème d'unicité!

_{Je me suis toujours pas dépatouillée de ta série avec les tangentes...}

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Oui au final ça revient au même

Sans indication, c'est vrai que c'est difficile!