Bonjour,
(D'accord, c'est triviale mais bon...)
Faut pas pousser, c'est clairement non trivial ...

Ca dépend des outils qu'on a disposition, en effet. Parti de rien, oui, c'est pas facile du tout. En ce qui me concerne, le fait que ces deux ensembles ont même cardinal, c'est quasiment écrit bleu sur blanc dans le cours.

Salut Schumi

je n'ai pas le niveau pour répondre à ces questions, mais pour la 1, ça a un rapport avec la courbe de Péano ou pas ?

scrogneugneu >>

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La 1) n'a pas de rapport avec la courbe de Péano (bien sûr, ça permet de répondre à la question mais c'est un peu bourrin). C'est une simple histoire de cardinal...

salut.
pour le 1- on peut chercher une fonction symetrique à l'axe et à valeur dans [0,1].et la surjection sera par exemple [0,1]

la fonction par exemple peut etre

Ta fonction ne marche surement pas...

Je n'aime pas vraiment l'idée de la cardinalité, puisque l'on définit justement la cardinalité par l'existence de surjection ou d'injection, ca tourne donc un peu en rond ...

Ah oui, dans ce cas je comprends mieux le "c'est clairement non trivial ..."...

Yep

Bonjour

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Pour la surjection, voilà une idée (pas entièrement développée). On écrit x de [0,1] en système décimal et on lui fait correspondre . Je sais que j'ai des ennuis de mauvaise écriture décimale, mais ça, ça peut s'arranger... Pédagogiquement, ce truc même pas très rigoureux, passe très bien auprès de néophytes! Je me suis même taillé des succès lors de diners en ville...

Camélia >>

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Ah, j'aime bien. Une idée pour la 2)?

Salut.

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Pour la 1), on a la démonstration originelle de Cantor ("Je le vois, mais je ne le crois pas." ), qui est celle de Camélia  : on imbrique les développement décimaux des réels.
Pour la 2), avec le théorème de Sard, on y arrive bien.
Quant à la 3), il me semble aussi que c'est impossible, mais j'ai oublié la démonstration. J'y réfléchis.

Arkhnor >>

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"Pour la 2), avec le théorème de Sard, on y arrive bien." >> Ouais enfin, c'est un peu tirer le bazouka pour tuer la mouche... D'autant plus qu'il me semble que tu tournes en rond: quand j'avais démontré Sard dans le cas où la dimension de l'ouvert de départ est < à l'espace d'arrivé, j'avais démontré au cours de la démo un résultat analogue.
Donc bref, non, j'accepte pas Sard ici. C'est démontrable bien plus simplement (avec des outils de sup...).

"Quant à la 3), il me semble aussi que c'est impossible, mais j'ai oublié la démonstration. J'y réfléchis." >> Tu vas avoir du mal à la retrouver.

bonsoir,
Je me permet de remonter le topic car j ai une question dont je n ai pas la réponse ( encore) et qui répond a la question 3 posée dans ce topic il existe en effet des  fonctions surjectives continue de [0,1]->[0,1]^2 hilbert a réussit a en construire une... ( j ai pas la demo mais seulement le contexte historique ) et question
notons H fonction continue surjective H :[0,1]->[0,1]^2
alors montrer que  H^-1 la fonction réciproque de cette fonction continue ne serait pas continue.
bonne soirée

montrer que  H-1 la fonction réciproque de cette fonction continue ne serait pas continue. >> Ben encore heureux, ta fonction n'est même pas définie...

Une fonction continue surjective de [0,1] dans [0,1]² n'est surement pas bijective. Argument classique: on enlève un point de l'intérieur de [0,1]. Alors l'éventuelle fonction réciproque (qui serait forcément continue) enverrait un connexe ([0,1]²\{l'image par la f du point qu'on a enlevé}) sur un non connexe ([0,1] privé du point de son intérieur qu'on a enlevé). Bref, ya un bug.